Un exercice complet sur les suites

1. Soit $(U_n)$ la suite définie par $U_0 = 4$ et $U_{n+1} = 2U_n - 1$ pour tout entier naturel $n$.

2. a) Nous devons calculer $U_1$ et $U_2$.

$\bullet\quad \boxed{U_0 = 4}$
$\bullet\quad U_1 = 2U_0 - 1$
$\phantom{\bullet\quad U_1} = 2 \times 4 - 1$
$\phantom{\bullet\quad U_1} = 7$
$\phantom{\bullet\quad } \Longrightarrow \quad \boxed{U_1 = 7}$

$\bullet\quad U_2 = 2U_1 - 1$
$\phantom{\bullet\quad U_2} = 2 \times 7 - 1$
$\phantom{\bullet\quad U_2} = 13$
$\phantom{\bullet\quad } \Longrightarrow \quad \boxed{U_2 = 13}$

3. a) Nous devons calculer $U_1 - U_0$ et $U_2 - U_1$, puis en déduire que la suite $(U_n)$ n'est pas arithmétique.

$\begin{cases} U_1 - U_0 = 7 - 4 \\ U_2 - U_1 = 13 - 7 \end{cases}$ $\Longrightarrow$ $\begin{cases} U_1 - U_0 = 3 \\ U_2 - U_1 = 6 \end{cases}$
$\Longrightarrow$ $\boxed{U_1 - U_0 ; {\red{\neq}} ; U_2 - U_1}$

Nous observons que la différence entre deux termes consécutifs de la suite n'est pas constante.
Par conséquent, la suite $(U_n)$ n'est pas arithmétique.

4. On définit la suite $(V_n)$ par $V_n = -1 + U_n$ pour tout entier naturel $n$.

   Nous devons montrer que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $V_0 = 3$.

Pour tout entier naturel $n$,

$V_{n+1} = -1 + U_{n+1}$
$\phantom{V_{n+1}} = -1 + (2U_n - 1)$
$\phantom{V_{n+1}} = 2U_n - 2$
$\phantom{V_{n+1}} = 2(U_n - 1)$
$\phantom{V_{n+1}} = 2V_n$
$\Longrightarrow \quad \boxed{\forall , n \in \mathbb{N}, \quad V_{n+1} = 2V_n}$

Par conséquent, la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q = 2$.
Le premier terme de cette suite est $V_0 = -1 + U_0 = -1 + 4 = 3$.

5. Nous devons calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} V_n$, puis $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n$.

$\bullet$ Calculons $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} V_n$.

$(V_n)$ est une suite géométrique positive de raison $q = 2$ strictement supérieure à 1 et de premier terme non nul $V_0$.
Dès lors, $\boxed{\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty}$.

$\bullet$ Calculons $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n$.

$(V_n)$ est une suite géométrique positive de raison $q = 2$ strictement supérieure à 1 et de premier terme non nul $V_0$.
Dès lors, $\boxed{\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty}$.

$\bullet$ Calculons $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} U_n$.

$V_n = -1 + U_n \quad \Longrightarrow \quad U_n = V_n + 1$
$\Longrightarrow \quad U_n = V_n + 1 \quad \Longrightarrow \quad \lim_{n \to +\infty} U_n = \lim_{n \to +\infty}(V_n + 1)$
$\Longrightarrow \quad \displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n = \displaystyle\lim_{n \to +\infty}(V_n + 1) \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\displaystyle\lim_{n \to +\infty} U_n = +\infty \quad \text{car} \quad \displaystyle\lim_{n \to +\infty} V_n = +\infty}$

Nous devons exprimer $V_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

Le terme général de la suite $(V_n)$ est donné par $V_n = V_0 \times q^n$.
Donc nous obtenons pour tout entier naturel $n$, $\boxed{V_n = 3 \times 2^n}$.

Nous devons en déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $U_n = 1 + 3 \times 2^n$.

Pour tout entier naturel $n$,

$\begin{cases} V_n = 3 \times 2^n \\ V_n = -1 + U_n \end{cases}$ $\Longrightarrow$ $3 \times 2^n = -1 + U_n$