Résoudre des équations du second degré (sans utilisation du discriminant)

Exercice 1

1. Rappel. Simplifier $, (2x-1)^2 - 4(x-2)^2 ,$.
   Étape 1. On reconnaît une différence de deux carrés : $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ avec $A=2x-1$ et $B=2(x-2)=2x-4$.
   Étape 2. Calcul de $A-B$ : $, (2x-1)-(2x-4)=3$.
   Étape 3. Calcul de $A+B$ : $, (2x-1)+(2x-4)=4x-5$.
   Conclusion. $(2x-1)^2-4(x-2)^2=3(4x-5)$.
   👉 Conseil. Toujours poser $A$ et $B$ pour voir la structure $A^2-B^2$.

2. Rappel. Simplifier $4(x-1)^2-(x-3)^2 ,$.
   Étape 1. Écrire $4(x-1)^2=\bigl(2(x-1)\bigr)^2=(2x-2)^2$.
   Étape 2. Différence de carrés avec $C=2x-2$ et $D=x-3$: $C^2-D^2=(C-D)(C+D)$.
   Étape 3. $C-D=(2x-2)-(x-3)=x+1$ ;

   $C+D=(2x-2)+(x-3)=3x-5$.
   Conclusion. $4(x-1)^2-(x-3)^2=(x+1)(3x-5)$.
   👉 Conseil. Cherche d’abord à écrire sous la forme “quelque chose au carré”.

Exercice 2

1. Rappel. Résoudre $5x^2-20x=0 ,$.
   Étape 1. Factoriser : $5x(x-4)=0$.
   Étape 2. Produit nul $\Rightarrow$ $5x=0$ ou $x-4=0$.
   Conclusion. $S=\{0\,;\,4\}$.
   👉 Conseil. Commence toujours par mettre $x$ en facteur quand c’est possible.

2. Rappel. Résoudre $3x^2+27=0 ,$.
   Étape 1. $3x^2=-27 \Rightarrow x^2=-9$.
   Conclusion. Aucune solution réelle $(\varnothing)$, car $x^2\ge 0$ pour tout $x\in\mathbb R$.
   👉 Conseil. Dès que $x^2$ serait négatif, conclure “pas de solution réelle”.

3. Rappel. Résoudre $9x^2+6x+1=0 ,$.
   Étape 1. Reconnaître un carré parfait : $(3x+1)^2=9x^2+6x+1$.
   Étape 2. Résoudre $(3x+1)^2=0 \Rightarrow 3x+1=0$.
   Conclusion. $, S=\left\lbrace -\dfrac{1}{3}\right\rbrace.$ (racine double).
   👉 Conseil. Cherche les patrons $(ax+b)^2$ dès que $a^2x^2$ et $b^2$ apparaissent.

Exercice 3

1. Rappel. Résoudre $5x^2-20x\le 0 ,$.
   Étape 1. Factoriser : $5x(x-4)\le 0$.
   Étape 2. Zéros : $x=0$ et $x=4$.
   Étape 3. Étude de signe (produit $\le 0$) $\Rightarrow$ entre les zéros, inclus.
   Conclusion. $S=[0\,;4]$.
   👉 Conseil. Pour un produit $\le 0$, on prend l’intervalle “entre les racines”.

2. Rappel. Résoudre $(2x-1)^2-4(x-2)^2\ge 0 ,$.
   Étape 1. Ex. 1.1 a donné $3(4x-5)\ge 0$.
   Étape 2. Comme $3>0$, c’est équivalent à $, 4x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge \dfrac{5}{4}$.
   Conclusion. $S=\left[\dfrac{5}{4}\,;\,+\infty\right[$.
   👉 Conseil. Tu peux diviser par une constante strictement positive sans changer le sens de l’inégalité.

3. Rappel. Résoudre $4(x-1)^2-(x-3)^2\ge 0 ,$.
   Étape 1. Ex. 1.2 a donné $(x+1)(3x-5)\ge 0$.
   Étape 2. Zéros : $x=-1$ et $x=\dfrac{5}{3}$.
   Étape 3. Produit $\ge 0$ $\Rightarrow$ $x\le -1$ ou $x\ge \dfrac{5}{3}$ (bornes incluses).
   Conclusion. $S=]-\infty,;-1]\,\cup\left[\dfrac{5}{3}\,;\,+\infty\right[$.
   👉 Conseil. Pour un produit $\ge 0$, on prend l’extérieur des racines, bornes comprises.

4. Rappel. Résoudre $x^2+1\ge 2x ,$.
   Étape 1. Réécrire : $x^2-2x+1\ge 0 \iff (x-1)^2\ge 0$.
   Conclusion. Vrai pour tout $x\in\mathbb R$ ; $S=\mathbb R$.
   👉 Conseil. Penser au “carré d’une différence” $(x-a)^2\ge 0$ toujours vrai.

Exercice 4

1. Rappel. Résoudre $x^2-10x+25\le 0 ,$.
   Étape 1. $(x-5)^2\le 0$.
   Conclusion. Un carré est $\ge 0$, donc $\le 0$ seulement en $x=5$. $S={5}$.
   👉 Conseil. Un carré parfait $\le 0$ donne une unique solution.

2. Rappel. Résoudre $-3x^2+1\ge 0 ,$.
   Étape 1. $1\ge 3x^2 \iff x^2\le \dfrac{1}{3}$.
   Conclusion. $S=\left[-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,;\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right]$.
   Conseil. Convertis “quadratique concave” en contrainte sur $x^2$.

3. Rappel. Résoudre $x^2-x\ge 0$.
   Étape 1. Factoriser : $x(x-1)\ge 0$.
   Étape 2. Zéros : $0$ et $1$ ; produit $\ge 0$ $\Rightarrow$ extérieur.
   Conclusion. $S=]-\infty\,;0]\,\cup\,[1\,;\,+\infty[$.
   👉 Conseil. Retenir : produit $\ge 0$ $\Rightarrow$ extérieur des racines.

4. Rappel. Résoudre $, x^2-16\le 0 ,$.
   Étape 1. Factoriser : $(x-4)(x+4)\le 0$.
   Conclusion. Entre les racines (inclus) : $S=[-4\,;4]$.
   👉 Conseil. Différence de carrés classique $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$.

5. Rappel. Résoudre $8-x^2<0$.
   Étape 1. $-x^2<-8 \iff x^2>8 \iff |x|>2\sqrt{2}$.
   Conclusion. $S=]-\infty\,;-2\sqrt{2}[\,\cup\,]2\sqrt{2}\,;\,+\infty[$.
   👉 Conseil. Pour $x^2>k$, pense $|x|>\sqrt{k}$.

Exercice 5

1. Rappel. Résoudre $, 3x^2+5x=0 ,$.
   Étape 1. Factoriser : $, x(3x+5)=0$.
   Conclusion. , S=\left{0,;,-\dfrac{5}{3}\right}.
   👉 Conseil. Si $x$ est commun à tous les termes, factorise.

2. Rappel. Résoudre $, 9x^2-1=0 ,$.
   Étape 1. Différence de carrés : $(3x-1)(3x+1)=0$.
   Conclusion. $S=\left\lbrace-\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\right\rbrace$.
   👉 Conseil. Reconnaître $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.