Proportions, effectifs et pourcentages

Exercice 1 – Vocabulaire et échantillon

On étudie les résultats d’un contrôle de mathématiques dans une classe.
Les notes obtenues sont :
$8~;~12~;~15~;~9~;~12~;~14~;~8~;~10~;~15~;~12$

1. Indiquer la taille de l’échantillon.
   On compte le nombre de notes données.
   Il y a $10$ valeurs dans la liste.
   Donc la taille de l’échantillon est $n=10$.
   👉 Petit conseil : un « échantillon de taille $n$ » signifie simplement « $n$ individus (ou $n$ valeurs) observés ».

2. Dire si le caractère étudié est quantitatif ou qualitatif.
   Le caractère étudié est la note au contrôle.
   Une note est une valeur numérique.
   Donc le caractère est quantitatif.
   👉 Petit conseil : si tu peux faire des calculs (moyenne, différences, etc.) sur les valeurs, c’est très souvent quantitatif.

3. Expliquer en une phrase ce que représente l’échantillon dans cette situation.
   Ici, l’échantillon est l’ensemble des $10$ élèves (ou des $10$ notes) observés lors de ce contrôle.
   👉 Petit conseil : la population serait « tous les élèves concernés », l’échantillon est « la partie qu’on étudie réellement ».

Exercice 2 – Effectifs

Dans un club de sport, on interroge 30 adhérents sur leur activité principale.
12 font du football, 9 font du basket, 6 font de la natation et les autres font du tennis.

1. Déterminer l’effectif des adhérents qui font du tennis.
   L’effectif total est $30$.
   On additionne les effectifs connus :
   $12+9+6=27$
   Il reste donc :
   $30-27=3$
   Donc $3$ adhérents font du tennis.
   👉 Petit conseil : quand il y a « les autres », pense « total moins ce que je connais déjà ».

2. Donner l’effectif total.
   L’énoncé indique qu’on interroge $30$ adhérents.
   Donc l’effectif total est $30$.
   👉 Petit conseil : l’effectif total est souvent donné directement dans l’énoncé.

3. Associer à chaque activité son effectif.
   Football : $12$
   Basket : $9$
   Natation : $6$
   Tennis : $3$
   👉 Petit conseil : pense à vérifier en additionnant : $12+9+6+3=30$, c’est cohérent.

Exercice 3 – Fréquences

Dans une classe de 25 élèves, on relève la couleur des yeux :
10 ont les yeux marron, 8 ont les yeux bleus, 5 ont les yeux verts et 2 ont les yeux gris.

1. Calculer la fréquence des élèves ayant les yeux marron.
   La fréquence se calcule par :
   $frequence=\dfrac{effectif}{effectif~total}$
   Ici, effectif marron $=10$ et effectif total $=25$.
   Donc :
   $frequence_{marron}=\dfrac{10}{25}$
   On peut simplifier :
   $frequence_{marron}=\dfrac{2}{5}=0,4$
   👉 Petit conseil : une fréquence est toujours entre $0$ et $1$. Si tu trouves $2,3$, tu sais que tu t’es trompé.

2. Calculer la fréquence des élèves ayant les yeux bleus.
   $frequence_{bleus}=\dfrac{8}{25}$
   En décimal :
   $\dfrac{8}{25}=0,32$
   👉 Petit conseil : pour passer facilement au décimal avec $25$, tu peux multiplier numérateur et dénominateur par $4$ : $\dfrac{8}{25}=\dfrac{32}{100}=0,32$.

3. Vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
   On calcule toutes les fréquences :
   $frequence_{verts}=\dfrac{5}{25}=0,2$
   $frequence_{gris}=\dfrac{2}{25}=0,08$

Somme :
$0,4+0,32+0,2+0,08=1$
Donc la somme des fréquences est bien égale à $1$.
👉 Petit conseil : cette vérification est un excellent moyen de repérer une erreur de calcul.

Exercice 4 – Proportions et pourcentages

Dans un collège de 600 élèves, 210 sont des élèves de sixième.

1. Calculer la proportion d’élèves de sixième dans le collège.
   La proportion se calcule par :
   $proportion=\dfrac{effectif~de~la~sous-population}{effectif~total}$
   Ici :
   $proportion=\dfrac{210}{600}$
   On simplifie en divisant par $30$ :
   $\dfrac{210}{600}=\dfrac{7}{20}=0,35$
   Donc la proportion d’élèves de sixième est $0,35$.
   👉 Petit conseil : une proportion est toujours entre $0$ et $1$.

2. Calculer le pourcentage d’élèves de sixième.
   Pourcentage $=$ proportion $\times 100$ :
   $0,35\times100=35$
   Donc il y a $35$ d’élèves de sixième.
   👉 Petit conseil : pour passer d’une proportion à un pourcentage, tu multiplies par $100$ (et tu ajoutes le symbole $$).

3. Expliquer la différence entre proportion et pourcentage dans ce contexte.
   La proportion est un nombre entre $0$ et $1$ : ici $0,35$.
   Le pourcentage est cette proportion exprimée sur $100$ : ici $35\%$.
   👉 Petit conseil : proportion et pourcentage donnent la même information, mais pas sous la même forme.

Exercice 5 – Lecture et interprétation

On étudie un échantillon de 40 personnes concernant leur moyen de transport pour aller au travail.
18 utilisent la voiture, 12 les transports en commun, 6 le vélo et 4 vont à pied.

1. Donner la fréquence associée à chaque moyen de transport.
   Effectif total : $40$.

Voiture :
$frequence_{voiture}=\dfrac{18}{40}=\dfrac{9}{20}=0,45$

Transports en commun :
$frequence_{transports}=\dfrac{12}{40}=\dfrac{3}{10}=0,3$

Vélo :
$frequence_{velo}=\dfrac{6}{40}=\dfrac{3}{20}=0,15$

À pied :
$frequence_{pied}=\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}=0,1$

👉 Petit conseil : vérifie toujours que la somme vaut $1$ : $0,45+0,3+0,15+0,1=1$.

2. Donner le pourcentage correspondant à chaque moyen de transport.
   On multiplie chaque fréquence par $100$ :

Voiture : $0,45\times100$ soit $45\%$
Transports : $0,3\times100$ soit $30\%$
Vélo : $0,15\times100$ soit $15\%$
À pied : $0,1\times100$ soit $10\%$

👉 Petit conseil : si tu pars directement des effectifs, tu peux aussi faire $\dfrac{effectif}{40}\times100$.

3. Indiquer le moyen de transport le plus utilisé et justifier la réponse à l’aide des résultats obtenus.
   Le moyen le plus utilisé est la voiture, car son effectif est le plus grand : $18$ personnes.
   On peut aussi justifier avec la fréquence $0,45$ ou le pourcentage $45\%$, qui sont les plus élevés.
   👉 Petit conseil : pour « le plus utilisé », compare soit les effectifs, soit les fréquences, soit les pourcentages, mais justifie avec au moins un calcul.