Probabilité et tableau croisé

Exercice 1

👉 Une organisation efficace pour ce type d'énoncé est de construire un tableau à double entrée en lisant pas à pas l'énoncé.

Conseil. Une probabilité $P(A)$ se calcule par $P(A)=\dfrac{\text{effectif de }A}{N}$. Les expressions « parmi les… » indiquent que l’on se restreint à un sous-ensemble qui devient le nouveau total.

$1.$ Je nomme : Événements. $\mathcal{E}$ : « être externe », $\mathcal{D}$ : « être demi-pensionnaire », $\mathcal{R}$ : « pratiquer le rugby », $\mathcal{T}$ : « pratiquer le tennis », $\mathcal{B}$ : « pratiquer le badminton ».

Traduction en probabilités puis calculs.
$P(\mathcal{E})=\dfrac{132}{210}=\dfrac{22}{35}$.
$P(\mathcal{D})=\dfrac{78}{210}=\dfrac{13}{35}$.
$P(\mathcal{R})=\dfrac{80}{210}=\dfrac{8}{21}$.
$P(\mathcal{T})=\dfrac{80}{210}=\dfrac{8}{21}$.
$P(\mathcal{B})=\dfrac{50}{210}=\dfrac{5}{21}$.

👉 Conseil. Pensez à simplifier les fractions avec un diviseur commun.

$2.$

Question 1. « À la fois externe et rugby » $\Rightarrow$ intersection : $P(\mathcal{E}\cap\mathcal{R})=\dfrac{54}{210}=\dfrac{9}{35}$.

Question 2. « Parmi les externes, proportion qui font du rugby » $\Rightarrow$ probabilité conditionnelle $P_E(\mathcal{R})$ ; on calcule sans formule en posant le nouveau total à $132$ :
$P_E(\mathcal{R})=\dfrac{54}{132}=\dfrac{9}{22}$.

Question 3. « Parmi les joueurs de rugby, proportion d’externes » $\Rightarrow$ $P_R(\mathcal{E})$ avec nouveau total $80$ :
$P_R(\mathcal{E})=\dfrac{54}{80}=\dfrac{27}{40}$.

Question 4. « Parmi ceux qui font du badminton, proportion de demi-pensionnaires » $\Rightarrow$ $P_B(\mathcal{D})$ avec nouveau total $50$ :
$P_B(\mathcal{D})=\dfrac{18}{50}=\dfrac{9}{25}$.

Question 5. « Parmi les demi-pensionnaires, proportion qui font du badminton » $\Rightarrow$ $P_D(\mathcal{B})$ avec nouveau total $78$ :
$P_D(\mathcal{B})=\dfrac{18}{78}=\dfrac{3}{13}$.

👉 Conseil. « Parmi les … » signifie « on restreint l’univers » : on divise l’effectif de l’intersection par l’effectif du groupe de référence.

$3.$ 👉 Réunion $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; complément $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Question 1. « Externe ou tennis (au moins un des deux) » $\Rightarrow$ $P(\mathcal{E}\cup\mathcal{T})$.
On a $P(\mathcal{E})=\dfrac{22}{35}$, $P(\mathcal{T})=\dfrac{8}{21}$, $P(\mathcal{E}\cap\mathcal{T})=\dfrac{46}{210}=\dfrac{23}{105}$.
$P(\mathcal{E}\cup\mathcal{T})=\dfrac{22}{35}+\dfrac{8}{21}-\dfrac{23}{105}=\dfrac{83}{105}$.

Question 2. « Ne joue pas au tennis » $\Rightarrow$ complément de $\mathcal{T}$ :
$P(\overline{\mathcal{T}})=1-\dfrac{8}{21}=\dfrac{13}{21}$.

Question 3. « Demi-pensionnaire et pas badminton » $\Rightarrow$ $P(\mathcal{D}\cap\overline{\mathcal{B}})$.
$P(\mathcal{D})=\dfrac{13}{35}$ et $P(\mathcal{D}\cap\mathcal{B})=\dfrac{18}{210}=\dfrac{3}{35}$.
$P(\mathcal{D}\cap\overline{\mathcal{B}})=\dfrac{13}{35}-\dfrac{3}{35}=\dfrac{2}{7}$.

Question 4. « Ni externe ni badminton » $\Rightarrow$ complément de la réunion : $P(\overline{\mathcal{E}\cup\mathcal{B}})$.
$P(\mathcal{E}\cup\mathcal{B})=P(\mathcal{E})+P(\mathcal{B})-P(\mathcal{E}\cap\mathcal{B})$.
Avec $P(\mathcal{E})=\dfrac{22}{35}$, $P(\mathcal{B})=\dfrac{5}{21}$, $P(\mathcal{E}\cap\mathcal{B})=\dfrac{32}{210}=\dfrac{16}{105}$, on obtient
$P(\mathcal{E}\cup\mathcal{B})=\dfrac{5}{7}$ puis $P(\overline{\mathcal{E}\cup\mathcal{B}})=1-\dfrac{5}{7}=\dfrac{2}{7}$.

👉 Conseil. Pour les « ou », utilisez la formule de réunion afin d’éviter de compter deux fois ceux qui appartiennent aux deux catégories.

Exercice 2

Organisation à l'aide d'un tableau à double entrée : 

3 colonnes, pour « dopé », « non dopé » et « total » et 3 lignes pour « positif », « négatif » et « total ». Cela aurait pu être inversé, peu importe. L'ordre utilisé pour compléter le tableau à la lecture de l'énoncé a été mis en (1), (2). Les nombres en noir se déduisent des autres par addition ou soustraction. Les nombres (en bleu, (4) et (5)) se calculent avec les données de l'énoncé.

Répondons à la question posée maintenant que l'énoncé est organisé : 

On s'intéresse à la probabilité qu'un sportif ayant été déclaré négatif soit réellement dopé. On sait que le sportif est déclaré négatif, cela constitue une restriction de notre ensemble total. les résultats vont se lire dans la ligne « négatif ». La cellule « dopé-négatif » est de $2$. Le total des « négatifs » est de $173$. 

La probabilité qu'un sportif ayant été déclaré négatif soit réellement dopé est :  $\dfrac{2}{173}\approx 0,01$.