Pourcentage de pourcentage

Exercice 1 – Comprendre des pourcentages emboîtés

Dans un collège, $70\%$ des élèves sont des demi-pensionnaires.
Parmi les demi-pensionnaires, $40\%$ prennent aussi le petit-déjeuner au collège.

1. Exprimer la situation à l’aide de deux proportions.
   $70\%$ des élèves sont demi-pensionnaires, donc la proportion « demi-pensionnaires / total » vaut $0,70$.
   $40\%$ des demi-pensionnaires prennent le petit-déjeuner, donc la proportion « petit-déjeuner / demi-pensionnaires » vaut $0,40$.
   👉 Petit conseil : transforme toujours les pourcentages en nombres décimaux avant de calculer.

2. Calculer la proportion d’élèves qui sont à la fois demi-pensionnaires et qui prennent le petit-déjeuner.
   On cherche « $40\%$ des $70\%$ ».
   On multiplie les proportions :
   $0,70\times0,40=0,28$
   Donc la proportion d’élèves concernés est $0,28$.
   👉 Petit conseil : pour des pourcentages emboîtés, on multiplie, on n’additionne jamais.

3. Donner le résultat sous forme de pourcentage.
   $0,28=28\%$
   Donc $28\%$ des élèves sont demi-pensionnaires et prennent aussi le petit-déjeuner.
   👉 Petit conseil : une proportion est entre $0$ et $1$, un pourcentage entre $0$ et $100$.

Exercice 2 – Application directe

Dans une entreprise, $80\%$ des salariés sont en CDI.
Parmi ces salariés en CDI, $25\%$ travaillent à temps partiel.

1. Calculer la proportion de salariés qui sont à la fois en CDI et à temps partiel.
   Proportion CDI / total : $0,80$.
   Proportion temps partiel / CDI : $0,25$.
   Proportion « CDI et temps partiel » / total :
   $0,80\times0,25=0,20$
   👉 Petit conseil : pense à la phrase « $25\%$ des $80\%$ ».

2. Donner le pourcentage correspondant.
   $0,20=20\%$
   Donc $20$ des salariés sont à la fois en CDI et à temps partiel.
   👉 Petit conseil : $0,20$ c’est $20$ centièmes, donc $20\%$.

3. Reformuler le résultat sous la forme d’une phrase correcte.
   « $20\%$ des salariés de l’entreprise sont en CDI et travaillent à temps partiel. »
   👉 Petit conseil : reformuler en français te force à vérifier que tu parles bien du total.

Exercice 3 – Lecture et interprétation

Dans un lycée, $55\%$ des élèves sont des filles.
Parmi ces filles, $20\%$ pratiquent une option artistique.

1. Calculer la proportion de filles pratiquant une option artistique dans l’ensemble du lycée.
   Proportion filles / total : $0,55$.
   Proportion option artistique / filles : $0,20$.
   Donc la proportion « filles avec option artistique » / total vaut :
   $0,55\times0,20=0,11$
   👉 Petit conseil : écris toujours « de qui ? » puis « dans quoi ? » pour savoir si tu dois multiplier.

2. Exprimer cette proportion en pourcentage.
   $0,11=11\%$
   👉 Petit conseil : $0,11$ signifie $11$ élèves sur $100$ en proportion.

3. Compléter la phrase suivante :
   « … % des élèves du lycée sont des filles qui pratiquent une option artistique. »
   On a trouvé $11$.
   Donc : « $11\%$ des élèves du lycée sont des filles qui pratiquent une option artistique. »
   👉 Petit conseil : si tu écris « $20\%$ des élèves », tu as oublié que le $20\%$ est seulement parmi les filles.

Exercice 4 – Attention au piège

Dans une salle de sport, $60\%$ des adhérents suivent des cours collectifs.
Parmi ces adhérents, $30\%$ suivent un cours de yoga.

1. Calculer le pourcentage d’adhérents qui suivent un cours de yoga.
   « $30\%$ des $60\%$ » signifie :
   $0,60\times0,30=0,18$
   Donc $0,18=18\%$ des adhérents suivent un cours de yoga.
   👉 Petit conseil : le yoga est inclus dans « cours collectifs », donc c’est un pourcentage de pourcentage.

2. Expliquer pourquoi on ne peut pas additionner les deux pourcentages donnés dans l’énoncé.
   $60\%$ concerne les adhérents qui font des cours collectifs.
   $30\%$ concerne seulement une partie de ces adhérents (ceux des cours collectifs), pas tout le monde.
   Donc ces deux pourcentages ne s’appliquent pas au même groupe, on ne peut pas les additionner.
   👉 Petit conseil : on additionne seulement des pourcentages quand ils portent sur des sous-groupes qui découpent le même total (des groupes disjoints).

Exercice 5 – Situation plus complexe

Dans une ville, $75\%$ des habitants possèdent une voiture.
Parmi les habitants qui possèdent une voiture, $40$ utilisent leur véhicule pour aller travailler.

1. Calculer la proportion d’habitants qui utilisent leur voiture pour aller travailler.
   Proportion « possèdent une voiture » / total : $0,75$.
   Proportion « vont travailler en voiture » / « possèdent une voiture » : $0,40$.
   Donc la proportion « vont travailler en voiture » / total :
   $0,75\times0,40=0,30$
   👉 Petit conseil : les habitants qui vont travailler en voiture sont inclus dans ceux qui possèdent une voiture.

2. Donner le résultat sous forme de pourcentage.
   $0,30=30\%$
   Donc $30\%$ des habitants utilisent leur voiture pour aller travailler.
   👉 Petit conseil : vérifie l’ordre de grandeur : c’est logique que ce soit moins que $75$.

3. Interpréter ce résultat en une phrase claire.
   « Dans cette ville, $30\%$ des habitants vont travailler en utilisant leur voiture. »
   👉 Petit conseil : une bonne interprétation doit toujours parler du total (tous les habitants), pas seulement des propriétaires de voiture.