Polynômes : définition et identification

Exercice 1

$f(x)$est la somme de 3 monômes$4x^2$,$x$ et $1$ ; c'est une fonction polynôme de degré 2.
$g(x)$ n'est pas définie sur R ; en effet 3 n'a pas d'image ; $g$ n'est donc pas une fonction polynôme.
$h(x) = \sqrt{x^2+4x}$ ; $h$ n'est pas une fonction polynôme

Exercice 2

a) $f(x)=(3x^2+1)(2x^2-5) =6x^4 -13x^2-5$
$f$ est une fonction polynôme de degré 4

b) $g(x)=\dfrac{x^2-5x}{x} =\dfrac{x(x-5)}x$ , définie sur $\mathbb{R}^*$
$g$ n'est pas une fonction polynôme, car g n'est pas définie pour $x=0$

c) $h(x)=\dfrac{x^3+3x}{x^2+3}=\dfrac{x(x^2+3)}{x^2+3}=x$ définie sur $\mathbb{R}$
$h$ est une fonction polynôme de degré 1

Exercice 3

👉 Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même degré de $P$ et $Q$ sont égaux
Développons :

$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c$

$\phantom{(x-1)(ax^2+bx+c)}=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$

Pour tout $x$ réel,

$3x^3-2x^2+4x-5=ax^3+(-a+b)x^2+(-b+c)x-c$
équivaut à dire :
$\left\lbrace\begin{matrix} 3&=&a \\ -2&=&-a+b \\ 4&=&-b+c \\ -c&=&-5 \end{matrix}\right.$
$\left\lbrace\begin{matrix} 3&=&a \\ -2&=&-a+b \\ 4&=&-b+c \\ c&=&5 \end{matrix}\right.$
$\left\lbrace\begin{matrix} a&=&3 \\ b&=&-2+3 \\ b&=&-4+5 \\ c&=&5 \end{matrix}\right.$
$\left\lbrace\begin{matrix} a=3 \\ b=1 \\ c=5 \end{matrix}\right.$

Conclusion :
$3x^3-2x^2+4x-5=(x-1)(3x^2+x+5)$