Je construis des arbres de probabilité

Exercice 1

1. Construction de l'arbre

• 1ère épreuve : on tire une boule ; à partir de la racine, on fait partir 2 branches (une pour J, et une pour B).

• 2ème épreuve : on tire un cube ; à partir de chacune des branches J et B, on fait partir 3 branches (une pour j, une pour r et une pour b).

• on compte $2 \times 3 = 6$ issues possibles : $\Omega = \{(J;r) ; (J;b) ; (J;j) ; (B;r) ; (B;b) ; (B;j)\}$.
  Chaque issue est un couple formé par les couleurs des deux objets tirés.

👉 Conseil : vérifie toujours que le nombre d’issues calculées par l’arbre correspond bien au produit du nombre de branches de chaque étape.

Calcul des poids des branches
Rappel : probabilité de tirer une couleur = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

• probabilité de tirage d'une boule : $p(J) = 2/6 = 1/3$ ; $p(B) = 4/6 = 2/3$

• probabilité de tirage d'un petit cube : $p(j) = 3/8$ ; $p(r) = 2/8 = 1/4$ ; $p(b) = 3/8$

👉 Conseil : note les probabilités directement sur chaque branche de l’arbre pour éviter de les recalculer ensuite.

2.

Le chemin B-r conduit à l'issue $(B;r)$ ; à l'aide de l'arbre, on calcule :
$p(B \cap r) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$

$p(J \cap r) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{12}$
$p(J \cap b) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8}$
$p(J \cap j) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8}$
$p(B \cap r) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{6}$
$p(B \cap b) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{4}$
$p(B \cap j) = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{4}$

On a : $1/12 + 1/8 + 1/8 + 1/6 + 1/4 + 1/4 = 1$

👉 Conseil : cette étape de vérification est cruciale : la somme des probabilités de toutes les branches issues d’un même nœud doit être égale à 1 (ici, la racine).

3.

Événement $G$ : « les deux objets tirés sont de la même couleur ».
L'événement $G$ est réalisé sur 2 chemins de l'arbre, les issues $(J;j)$ et $(B;b)$ : soit les 2 objets sont jaunes, soit ils sont bleus.

Ainsi $p(G) = p(J \cap j) + p(B \cap b) = 1/8 + 1/4 = 3/8$.

Conclusion : on a 3 chances sur 8 de gagner à ce jeu.

Exercice 2

1.

$R$ : "le bulbe à fleur rouge donne bien une fleur" $p(R) = 0,9$
$\bar{R}$ : "le bulbe à fleur rouge ne donne pas de fleur"
$J$ : "le bulbe à fleur jaune donne bien une fleur" $p(J) = 0,8$
$\bar{J}$ : "le bulbe à fleur jaune ne donne pas de fleur"

👉 Conseil : toujours préciser les événements contraires ($\bar{R}$, $\bar{J}$) avant de construire un arbre, cela évite les oublis.

2. Arbre pondéré

$p(A) = 0,7$ donc $p(B) = 1 - 0,7 = 0,3$
La probabilité d'acheter un bulbe au second grossiste est 0,3, soit 30 %.

$p(R) = 0,9$ donc $p(\bar{R}) = 1 - 0,9 = 0,1$
La probabilité qu'un bulbe à fleur rouge ne donne pas de fleur est 0,1.

$p(J) = 0,8$ donc $p(\bar{J}) = 1 - 0,8 = 0,2$
La probabilité qu'un bulbe à fleur jaune ne donne pas de fleur est 0,2.

3.

L'horticulteur choisit et plante un bulbe au hasard : nous sommes donc en situation d'équiprobabilité.

a. « obtenir une fleur rouge » est l'issue du chemin $A \cap R$.
Donc $p(\text{« obtenir une fleur rouge »}) = p(A \cap R) = 0,7 \times 0,9 = 0,63$

b. $p(\text{« obtenir une fleur jaune »}) = p(B \cap J) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$

c. Événement $S$ : « le bulbe ne donne pas de fleur »
L'événement $S$ est réalisé à l'issue de deux chemins : $A \cap \bar{R}$ et $B \cap \bar{J}$
D'où $p(S) = p(A \cap \bar{R}) + p(B \cap \bar{J}) = 0,7 \times 0,1 + 0,3 \times 0,2 = 0,13$

👉 Conseil : tu peux aussi passer par l’événement contraire $\bar{S}$, cela donne souvent un calcul plus simple.

Autre méthode pour calculer $p(S)$ :
On peut remarquer que l'événement $S$ est l'événement contraire de $\bar{S}$ : « on obtient une fleur rouge OU jaune ».
Le « ou » se traduit par la réunion des deux ensembles : $\bar{S} = (A \cap R) \cup (B \cap J)$.

Les événements $(A \cap R)$ et $(B \cap J)$ étant incompatibles (leur intersection est vide : on ne peut pas obtenir une fleur qui soit à la fois rouge et jaune), la probabilité de leur réunion est la somme de leur probabilité (déjà calculées en a) et b)).

Ainsi :
$p(S) = 1 - p(\bar{S})$
$= 1 - p((A \cap R) \cup (B \cap J))$
$= 1 - (p(A \cap R) + p(B \cap J))$
$= 1 - (0,63 + 0,24)$
$= 0,13$

4.

Il pourra récolter si les bulbes donnent réellement des fleurs rouges ou jaunes.

$S$ : « le bulbe ne donne pas de fleur »
$\bar{S}$ : « le bulbe donne une fleur »

On utilise le résultat précédent : $p(\bar{S}) = 1 - p(S) = 1 - 0,13 = 0,87$, soit 87 % des bulbes plantés donneront une fleur.

D'où $8000 \times 0,87 = 6960$ fleurs rouges ou jaunes récoltées.

👉 Conseil : l’espérance sert ici à prévoir une moyenne sur un grand nombre de cas (8000 bulbes), pas un résultat exact mais une estimation fiable.