Géométrie dans l'espace

Exercice 1 : Géométrie des solides

1. Aire de la base et volume de la pyramide :
   La base est un carré de côté $c = 6~\text{cm}$.

2. Son aire $B$ se calcule par la formule $B = c \times c$, soit $B = 6 \times 6 = 36~\text{cm}^2$.
   Le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{h \times B}{3}$.
   En remplaçant par les valeurs, nous obtenons $V = \dfrac{10 \times 36}{3} = \dfrac{360}{3} = 120~\text{cm}^3$.

3. Volume du cône de révolution :
   L'aire de la base $B$ d'un cône (qui est un disque) se calcule avec la formule $B = \pi \times r^2$.
   Avec $r = 3~\text{cm}$ et $\pi \approx 3{,}14$, on a $B = 3{,}14 \times 3^2 = 3{,}14 \times 9 = 28{,}26~\text{cm}^2$.
   Le volume $V$ du cône utilise la même formule que la pyramide : $V = \dfrac{h \times B}{3}$.
   Ainsi, $V = \dfrac{7 \times 28{,}26}{3} = \dfrac{197{,}82}{3} = 65{,}94~\text{cm}^3$.

4. Faces latérales :
   Il y a autant de faces latérales que de côtés au polygone de base.
   Comme la base est un hexagone (un polygone à $6$ côtés), la pyramide possède donc $6$ faces latérales.

Exercice 2 : Se repérer sur la Terre

1. Définitions :
   Les parallèles sont des cercles imaginaires tracés parallèlement à l'équateur et numérotés de $0^\circ$ à $90^\circ$ vers le nord ou le sud.
   Les méridiens sont des demi-cercles joignant les deux pôles, numérotés de $0^\circ$ à $180^\circ$ vers l'est ou vers l'ouest.

2. Ordre des coordonnées géographiques :
   Pour situer un point, on doit donner d'abord sa latitude (nord ou sud), puis sa longitude (est ou ouest).

3. Coordonnées de Rio de Janeiro :

   
   Les coordonnées de Rio de Janeiro sont : $20^\circ~\text{S},~40^\circ~\text{O}$.

Exercice 3 : Se repérer dans l'espace

1. Si l'unité est le centimètre, et que l'on a $AB = 5~\text{cm}$ (sur l'axe des ordonnées), $AD = 3~\text{cm}$ (sur l'axe des abscisses) et $AE = 4~\text{cm}$ (sur l'axe des altitudes), déterminez les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$.

   Coordonnées des points B, D et E :
   Dans un pavé droit, les coordonnées sont lues dans l'ordre (abscisse;ordonnée;altitude).
   Le point $D$ est sur l'axe des ordonnées $[AD)$, donc ses coordonnées sont $D(0;3;0)$.
   Le point $B$ est sur l'axe des abscisses $[AB)$, donc ses coordonnées sont $B(5;0;0)$.
   Le point $E$ est sur l'axe des altitudes $[AE)$, donc ses coordonnées sont $E(0;0;4)$.

2. Coordonnées du sommet G :
   Le point $G$ correspond au déplacement maximal sur les trois axes à partir de l'origine $A$.
   Ses coordonnées sont donc $G(5;3;4)$.

3. Position du point $M(1{,}5~;~0~;~2)$ :
   Le point $M$ a une ordonnée nulle ($y = 0$), ce qui signifie qu'il n'y a pas de déplacement sur l'axe $[AD)$.
   Un point dont l'une des coordonnées est nulle appartient à une face du pavé (un plan spécifique).
   Comme son ordonnée est nulle, le point $M$ appartient à la face avant, c'est-à-dire la face $ABFE$.