Fonctions : une synthèse sur image, antécédent, tableau et lecture graphique

Exercice 1 – Retrouver l’expression d’une fonction

1) On observe que l’image double quand $x$ augmente de 1 :
$f(0)=2$, $f(1)=4$, $f(2)=8$.

👉 donc la règle est “multiplier par 2 puissance (x+1)” : soit $f(x)=2^{x+1}$

La règle est donc : $f(x)=2^{x+1}$.

2)
$f(3)=2^{3+1}=16$
$f(4)=2^{4+1}=32$

3) Tableau complété :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 2 & 4 & 8 & 16 & 32 \\ \hline \end{array}$

👉 Astuce : on dit que cette fonction est une fonction exponentielle, mot que tu as déjà certainement entendu dans les médias. On peut parler de croissance exponentielle ou de décroissance exponentielle.

Exercice 2 – Lecture graphique

👉 Pour lire une image, place l’abscisse donnée et lis l’ordonnée sur la courbe.
👉 Pour trouver un antécédent, trace une droite horizontale au niveau de l’ordonnée donnée.

Image de $1$ par $g$.

• On lit sur le graphique : $g(1)=0$.

• Antécédents de $2$

• Les antécédents de $2$ sont environ $-0,4$ et $2,4$.
  

👉 Toujours lire d’abord sur le graphique avant de calculer.

$3.$ On te dit que $g(x)=(x-1)^2$. Détermine les valeurs exactes des antécédents de $2$.

Cela revient à résoudre l'équation $(x-1)^2=2$.

On retranche $2$ aux deux membres :

$(x-1)^2-2=0$

Ceci est la différence de deux carrés, factorisons

(Rappel : $a²-b²=(a+b)(a-b)$)

$(x-1+\sqrt 2)(x-1-\sqrt 2)=0$

Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.

$x-1+\sqrt 2=0$ ou $x-1-\sqrt 2=0$

$x=1-\sqrt 2$ ou $x=1+\sqrt 2$.

Les valeurs exactes de l'équation $g(x)=2$ sont $1-\sqrt 2$ et $1+\sqrt 2$.

👉 Vérifie la cohérence de tes résultats à la calculatrice : $1-\sqrt 2\approx -1,41$ et $1+\sqrt 2\approx 2,41$

Exercice 3 – Lecture d’un tableau

On considère la fonction $h$ définie par le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -3 & -1 & 0 & 1 & 3 \\ \hline h(x) & 8 & 3 & 0 & 3 & 8 \\ \hline \end{array}$

1) Image de $1$ : $h(1)=3$.
2) Antécédents de $8$ : $x=-3$ et $x=3$.
3) La courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical (en $x=0$).

4) Pour tracer :
Place les points $(-3;8)$, $(-1;3)$, $(0;0)$, $(1;3)$, $(3;8)$ et relie-les “au mieux”. Il n'y a pas qu'un seul dessin possible ! En voici deux exemples.