Fonctions (1) : les bases

Exercice 1 — Comprendre la boîte noire

On considère une fonction $f$ définie par le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre $x$

• Lui ajouter 3

• Multiplier le résultat par 2

1. Appliquer ce programme avec $x = 4$.

1) Appliquer le programme avec $x=4$.

• Étape 1 : on ajoute 3 à $4$ donc $4+3=7$. 👉 Vérifier l’opération d’addition.

• Étape 2 : on multiplie par 2 donc $2\times7=14$. 👉 Relire l’ordre des opérations : d’abord l’addition, puis la multiplication.
  Réponse : $f(4)=14$.

2) Donner l’expression de $f(x)$ en fonction de $x$.

• On suit littéralement le programme : on obtient d’abord $x+3$, puis on multiplie par 2.
  $\begin{aligned} f(x)&=2\bigl(x+3\bigr)\\ &=2x+6. \end{aligned}$

  
  👉 Astuce : traduire chaque étape du programme en une opération algébrique.

3) Calculer $f(7)$.

• Méthode 1 (en remplaçant dans $2(x+3)$) : $f(7)=2\bigl(7+3\bigr)=2\times10=20$.

  👉 Vérifier le calcul intermédiaire $7+3$.

• Méthode 2 (en remplaçant dans $2x+6$) : $f(7)=2\times7+6=14+6=20$.
  Réponse : $f(7)=20$.

4) Compléter le tableau.
Calculs :

• $f(0)=2(0+3)=6$

• $f(2)=2(2+3)=2\times5=10$

• $f(4)=14$ (déjà trouvé)

• $f(6)=2(6+3)=18$

• $f(8)=2(8+3)=22$

Tableau rempli :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 \\ \hline f(x) & 6 & 10 & 14 & 18 & 22 \\ \hline \end{array}$

👉 Conseil : calcule toujours étape par étape et note les résultats intermédiaires.

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 + 6$.

1) Calculer $f(0), f(1), f(2)$.

• $f(0)=2\times0^2+6=0+6=6$. 👉 Rappel : $0^2=0$.

• $f(1)=2\times1^2+6=2+6=8$. 👉 Vérifie l’exposant avant la multiplication.

• $f(2)=2\times2^2+6=2\times4+6=8+6=14$.
  Réponses : $f(0)=6$, $f(1)=8$, $f(2)=14$.

2) Compléter le tableau.
Calculs supplémentaires :

• $f(-2)=2\times(-2)^2+6=2\times4+6=14$.

  👉 Attention aux parenthèses : $(-2)^2=4$.

• $f(-1)=2\times(-1)^2+6=2\times1+6=8$.

Tableau rempli :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 14 & 8 & 6 & 8 & 14 \\ \hline \end{array}$

3) Quelle est l’image de 1 ?

• Déjà calculé : $f(1)=8$.

  👉 La réponse : $8$.

4) Antécédent(s) de 14 par $f$.

• Résoudre $2x^2+6=14$.
  $\begin{aligned} 2x^2+6&=14\\ 2x^2&=14-6\\ 2x^2&=8\\ x^2&=4\\ x&=+ 2\text{ ou } -2. \end{aligned}$
  Réponse : les antécédents de $14$ sont $x=2$ et $x=-2$.

  👉 Toujours vérifier que les deux valeurs donnent bien $14$ en remplaçant dans $f(x)$.

Exercice 3

On donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$.

1. Lire sur le graphique : l’image de $x=2$ et l’image de $x=-1$.

2. Lire sur le graphique : les antécédents de $f(x)=3$.

3. Compléter : $f(2)=\dots$ ; L’antécédent de $3$ par $f$ est (ou sont) $\dots$

Étape A — lire l’image de 2

1. Sur l’axe des abscisses, repérer $x=2$.

   👉 Trace un trait vertical imaginé (ou réel) jusqu’à la courbe.

2. Monter/descendre jusqu’à la courbe et lire l’ordonnée du point d’intersection.

3. Cette ordonnée est $f(a)$.
   👉 Conseil : utilise une règle pour être plus précis sur le graphique.

Étape B — trouver les antécédents d’une valeur $3$

1. Tracer la droite horizontale d’ordonnée $3$ (parallèle à l’axe des abscisses).

   👉 Fais une ligne droite pour repérer toutes les intersections.

2. Compter et repérer les points d’intersection entre cette droite et la courbe.

3. Lire les abscisses des points d’intersection : ce sont les antécédents cherchés.
   👉 Si la droite ne coupe pas la courbe, il n’y a pas d’antécédent ; si elle coupe en plusieurs points, il y a plusieurs antécédents.

Complétons :

• $f(2)=3$.

• L’antécédent de $3$ par $f$ est $2$ et $-2$.