Exercices de calcul : fractions, puissances et notation scientifique

Série 1 – Calcul numérique et puissances

Exercice 1
On calcule d’abord les puissances, puis on applique les priorités opératoires.
$A=\left(\dfrac{3^2-5}{2}\right)+\dfrac{4}{2^2}$
$A=\left(\dfrac{9-5}{2}\right)+\dfrac{4}{4}$
$A=\dfrac{4}{2}+1$
$A=2+1$
$A=3$

Exercice 2
On regroupe les puissances de même base en utilisant $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
$B=\dfrac{5^7}{5^3\times 5^2}$
$B=\dfrac{5^7}{5^{3+2}}=\dfrac{5^7}{5^5}=5^{7-5}$
$B=5^2$
On peut donner la valeur numérique : $5^2=25$.

Exercice 3
On sépare les coefficients décimaux et les puissances de 10, puis on simplifie.
$C=\dfrac{6,3\times 10^5}{2,1\times 10^2}$
$C=\left(\dfrac{6,3}{2,1}\right)\times 10^{5-2}$
$C=3\times 10^3$
La forme scientifique est correcte car $3\in[1;10[$.

Série 2 – Fractions et priorités opératoires

Exercice 1
On calcule le numérateur puis on divise par $7$.
$D=\dfrac{2^4+(3^2-5)}{7}$
$D=\dfrac{16+(9-5)}{7}$
$D=\dfrac{16+4}{7}$
$D=\dfrac{20}{7}$
La fraction est irréductible.

Exercice 2
On évalue séparément chaque terme, puis on met au même dénominateur pour additionner.
$E=\dfrac{15}{3^2}+\dfrac{2^3}{4}$
$E=\dfrac{15}{9}+\dfrac{8}{4}$
$E=\dfrac{5}{3}+2$
$E=\dfrac{5}{3}+\dfrac{6}{3}=\dfrac{11}{3}$

Exercice 3
On utilise $\dfrac{a\times 10^m}{b\times 10^n}=\dfrac{a}{b}\times 10^{m-n}$ puis on ajuste en notation scientifique.
$F=\dfrac{1,2\times 10^{-3}}{4\times 10^{-6}}$
$F=\left(\dfrac{1,2}{4}\right)\times 10^{-3-(-6)}$
$F=0,3\times 10^{3}$
$F=3\times 10^{2}$
Le coefficient est bien dans $[1;10[$.

Série 3 – Mélange complet

Exercice 1
On calcule la puissance, puis on simplifie la fraction.
$G=\dfrac{(2^3-3)\times 5}{3^2}$
$G=\dfrac{(8-3)\times 5}{9}$
$G=\dfrac{5\times 5}{9}$
$G=\dfrac{25}{9}$
La fraction est irréductible.

Exercice 2
On multiplie les coefficients puis on additionne les exposants de $10$.
$H=(2\times 10^4)\times(3\times 10^{-2})$
$H=(2\times 3)\times 10^{4+(-2)}$
$H=6\times 10^{2}$
Valeur décimale : $6\times 10^2=600$.

Exercice 3
On divise les coefficients puis on soustrait les exposants.
$I=\dfrac{7,5\times 10^{6}}{1,5\times 10^{3}}$
$I=\left(\dfrac{7,5}{1,5}\right)\times 10^{6-3}$
$I=5\times 10^{3}$
La forme scientifique est conforme car $5\in[1\,;10[$.