Étude complète d’une fonction logarithmique (1)

Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x)=\ln (-x+e)$.
On appelle $(C_f)$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

1. a) Déterminons l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.

La fonction $f$ est définie si et seulement si $-x+e>0$, soit si et seulement si $x<e$.
Par conséquent : $\boxed{D_f=]-\infty\,;\,e[}$

1. b) Étudions les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.

$\bullet\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-x+e)=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-x+e)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\ln(-x+e)=+\infty$

Donc $\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$

$\bullet\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to e^-}(-x+e)=0\\\lim\limits_{X\to0}\ln X=-\infty\end{matrix}\right.\quad\underset{(X=-x+e)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to e^-}\ln(-x+e)=-\infty$

Donc $\quad\boxed{\lim\limits_{x\to e^-}f(x)=-\infty}$

On en déduit que la courbe $(C_f)$ admet une asymptote verticale d’équation $x=e$.

1. c) On admet que $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$.
   De plus, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.
   On dit que la courbe $(C_f)$ présente une branche parabolique de direction asymptotique $(Ox)$ en $-\infty$. (Cette question est hors programme en terminale)

2. Calculons la dérivée $f'(x)$.

$f'(x)=[\ln(-x+e)]'=\dfrac{(-x+e)'}{-x+e}=\dfrac{-1}{-x+e}=\dfrac{1}{x-e}$

Donc $\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{x-e}}$

Or $x\in]-\infty\,;\,e[$ implique $x<e$ donc $x-e<0$, ainsi $\dfrac{1}{x-e}<0$.
On conclut que $f'(x)<0$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;\,e[$.

Tableau de variations :

3. Résolvons $f(x)=0$.

$f(x)=0 \Longleftrightarrow \ln(-x+e)=0 \Longleftrightarrow -x+e=1 ;\Longleftrightarrow x=e-1$

Donc $\boxed{S={e-1}}$
La courbe $(C_f)$ coupe l’axe des abscisses au point $(e-1\,;\,0)$.

4. Équation de la tangente $(T)$ à $(C_f)$ au point $x=e-1$.

Formule : $y=f'(e-1)(x-(e-1))+f(e-1)$

Or $f'(x)=\dfrac{1}{x-e}$, donc $f'(e-1)=\dfrac{1}{e-1-e}=\dfrac{1}{-1}=-1$
et $f(e-1)=0$ (vu question 3).

Donc l’équation de $(T)$ est : $y=-1\cdot(x-(e-1))+0$
soit $;\boxed{y=-x+e-1}$

5. La tangente $(T)$ passe par $(0\,;\,e-1)$ et $(e-1\,;\,0)$.
   Pour rappel, $e-1\approx1,72$.