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Des primitives (1)

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Exercice 1 : Primitives de fonctions polynômes

1. Déterminer des primitives sur $\mathbb{R}$ des fonctions suivantes :

$x \mapsto x$

$x \mapsto x^2$

$x \mapsto x^3$

$x \mapsto -5$

2. Déterminer des primitives sur $\mathbb{R}$ des fonctions :

$x \mapsto 2x$

$x \mapsto -3x^2$

$x \mapsto 8x^3$

3. Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction : $x \mapsto 8x^3 - 3x^2 + 2x - 5$

Exercice 2 : Primitives immédiates

1. Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes :

$f : x \mapsto 0$

$g : x \mapsto 2$

$h : x \mapsto x^5$

2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+ $\infty$ [ de la fonction suivante :

$i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$

3. Déterminer deux primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction :

$f : x \mapsto 2x^3 + 3x - 1$

Exercice 3 : Fonctions simples

Déterminer deux primitives sur ]0,+ $\infty$ [ de chacune des fonctions suivantes :

$f : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{3}x^2$

$g : x \mapsto \dfrac{2}{x^2} - x\sqrt{2}$

Révéler le corrigé

Exercice 1

1. Des primitives de $x \mapsto x$ sont par exemple : $x \mapsto \dfrac{1}{2} x^2 + 4$ ou encore $x \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 - 4,5$

d'une manière générale : $x \mapsto \dfrac{1}{2}x^2 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Des primitives de $x \mapsto x^2$ sont par exemple : $x \mapsto \dfrac{1}{3} x^3 + 89$ ou encore $x \mapsto \dfrac{1}{3}x^3 - 12,7$ d'une manière générale : $x \mapsto \dfrac{1}{3}x^3 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Des primitives de $x \mapsto x^3$ sont par exemple : $x \mapsto \dfrac{1}{4} x^4 + 8,7$ ou encore $x \mapsto \dfrac{1}{4}x^4 - 121,7$

d'une manière générale : $x \mapsto \dfrac{1}{4}x^4 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Des primitives de $x \mapsto -5$ sont par exemple : $x \mapsto -5x + 1,4$ ou encore $x \mapsto -5x + 17$ d'une manière générale : $x \mapsto -5x + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

2. Des primitives de $x \mapsto 2x$ sont de la forme $x \mapsto x^2 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Des primitives de $x \mapsto -3x^2$ sont de la forme $x \mapsto -x^3 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Des primitives de $x \mapsto 8x^3$ sont de la forme $x \mapsto 2x^4 + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

3. A l'aide des questions précédentes, une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto 8x^3 - 3x^2 + 2x - 5$ est par exemple : $x \mapsto 2x^4 - x^3 + x^2 - 5x$

Exercice 2

1. Une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f : x \mapsto 0$ est $F : x \mapsto 4$

D'une manière générale, les primitives de $f$ sont $x \mapsto \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

Une primitive de $g : x \mapsto 2$ est $G : x \mapsto 2x$

Une primitive de $h : x \mapsto x^5$ est $H : x \mapsto \dfrac{1}{6}x^6$

2. Les primitives de $i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}$ sont $I : x \mapsto -\dfrac{1}{x} + \lambda$ où $\lambda\in\mathbb{R}$

3. Deux primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ sont : $x \mapsto \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 4$ et $x \mapsto \dfrac{1}{2} x^4 + \dfrac{3}{2}x^2 - x + 18$

Exercice 3

Deux primitives de $f$ sont par exemple : $x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3$ et $x \mapsto -\dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{9}x^3 - 12$

Deux primitives de $g$ sont par exemple : $x \mapsto \dfrac{-2}{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2$ et $x \mapsto \dfrac{-2}{x} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}x^2 - 3,5$

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