Des limites de fonctions : des incontournables

Exercice $1:\quad$

Le dénominateur tend vers $0$. On étudie donc son signe :

$\left\lbrace\begin{matrix} \lim\limits_{x\to -3^-}2x+5 = -1 \\ \lim\limits_{x\to -3^-}(-3-x) = 0^+ \end{matrix}\right] \lim\limits_{x\to -3^-}\dfrac{2x+5}{-3-x} = -\infty$

On peut donc affirmer que la droite d'équation $x=-3$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.

Exercice $2:\quad$

Il s’agit ici de calculer la limite d’une fonction composée.

Sous le radical, on a une fonction rationnelle.

D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré on a :

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x+5}{4x-1} = \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x}{4x} = \dfrac{3}{4}$

$\lim\limits_{x\to \tfrac{3}{4}}\sqrt{x} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}$

Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}\sqrt{\dfrac{3x+5}{4x-1}} = \sqrt{\dfrac{3}{4}}$

On peut donc affirmer que la droite d'équation $y=\dfrac{3}{4}$ est asymptote à la courbe représentative de la fonction qui à $x$ associe $\sqrt{\dfrac{3x+5}{4x-1}}$.

Exercice $3:\quad$

$\lim\limits_{x\to 1^+}x^2+x-2 = 0$ et $\lim\limits_{x\to 1^+}2x^2+4x-6 = 0$

On est donc en présence d’une forme indéterminée du type "$\dfrac 00$".

Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser les deux polynômes du second degré.

$\checkmark$ Pour $x^2+x-2$

$\Delta = 1^2 - 4\times 1 \times (-2) = 9 = 3^2\gt0$

Il y a donc deux racines réelles : $x_1 = \dfrac{-1-3}{2} = -2$ et $x_2 = \dfrac{-1+3}{2} = 1$

Ainsi $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$

$\checkmark$ Pour $2x^2+4x-6$

$\Delta = 4^2 - 4\times 2 \times (-6) = 64 = 8^2\gt0$

Il y a donc deux racines réelles : $x_1 = \dfrac{-4-8}{4} = -3$ et $x_2 = \dfrac{-4+8}{4} = 1$

Ainsi $2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3)$

Donc partout où cette fonction rationnelle est définie, on peut écrire :

Pour $x\in \mathbb R\setminus \{-3 ; 1\}$, $\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{2(x-1)(x+3)} = \dfrac{x+2}{2(x+3)}$

D’où :

$\lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6} = \lim\limits_{x\to 1^+}\dfrac{x+2}{2(x+3)} = \dfrac{3}{8}$

Interprétation : Soit $h\mapsto \dfrac{x^2+x-2}{2x^2+4x-6}$

La fonction $h$ est définie sur $\mathbb R\setminus \{-3 ; 1\}$. Cette fonction n'est ni continue en $-3$, ni en $1$, puisqu'elle n'est pas définie en ces points. Mais on dit qu'on a prolongé par continuité la fonction $h$ en 1, par une fonction $g$ définie par :