Dénombrement et combinatoire : simplification des écritures avec factorielle

Exercice 1 — factorielles et simplifications

👉 Rappel utile : pour tout entier $n\ge 1$, on a $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times 2\times 1$. On utilise l’écriture développée pour simplifier.

1. Calcul de $\dfrac{8!}{6!}$.
   On écrit $8!=8\times 7\times 6!$. Donc $\dfrac{8!}{6!}= \dfrac{8\times 7\times 6!}{6!}=8\times 7=56$.

2. Calcul de $\dfrac{12!}{11!}$.
   On écrit $12!=12\times 11!$. Donc $\dfrac{12!}{11!}= \dfrac{12\times 11!}{11!}=12$.

3. Calcul de $\dfrac{50!}{48!\times 2!}$.
   On écrit $50!=50\times 49\times 48!$ et $2!=2$. Donc
   $\dfrac{50!}{48!\times 2!}= \dfrac{50\times 49\times 48!}{48!\times 2}= \dfrac{50\times 49}{2}=25\times 49=1225$.

Bilan : $\dfrac{8!}{6!}=56$, $\dfrac{12!}{11!}=12$, $\dfrac{50!}{48!\times 2!}=1225$.

Exercice 2 — arrangements et coefficients binomiaux

👉Rappels : $A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ et $\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$, avec la symétrie $\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}n\\ n-k\end{pmatrix}$.

1. Valeur de $A_{18}^2$.
   $A_{18}^2=\dfrac{18!}{16!}=\dfrac{18\times 17\times 16!}{16!}=18\times 17=306$.

2. Valeur de $\begin{pmatrix}18\\ 2\end{pmatrix}$.
   $\begin{pmatrix}18\ 2\end{pmatrix}=\dfrac{18!}{2!\times 16!}=\dfrac{18\times 17\times 16!}{2\times 1\times 16!}=\dfrac{18\times 17}{2}=9\times 17=153$.

3. Valeur de $A_{18}^4$.
   $A_{18}^4=\dfrac{18!}{14!}=\dfrac{18\times 17\times 16\times 15\times 14!}{14!}=18\times 17\times 16\times 15$.
   On calcule par étapes : $18\times 17=306$, $16\times 15=240$, donc $306\times 240=73440$. Ainsi $A_{18}^4=73440$.

4. Valeur de $\begin{pmatrix}18\ 4\end{pmatrix}$.
   $\begin{pmatrix}18\\ 4\end{pmatrix}=\dfrac{18!}{4!\times 14!}=\dfrac{18\times 17\times 16\times 15}{4\times 3\times 2\times 1}$.
   On a déjà $18\times 17\times 16\times 15=73440$ et $4\times 3\times 2\times 1=24$. Donc $\dfrac{73440}{24}=3060$.

5. Valeur de $\begin{pmatrix}18\\ 14\end{pmatrix}$.
   Par symétrie, $\begin{pmatrix}18\\ 14\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}18\\ 4\end{pmatrix}$, donc $3060$.

Bilan : $A_{18}^2=306$, $\begin{pmatrix}18\\ 2\end{pmatrix}=153$, $A_{18}^4=73440$, $\begin{pmatrix}18\\ 4\end{pmatrix}=3060$, $\begin{pmatrix}18\\ 14\end{pmatrix}=3060$.