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Énoncé

Afin de mettre en évidence le réchauffement de l'atmosphère (effet de serre), on a mesuré la température moyenne annuelle de la planète.
Le tableau ci-dessous donne l'évolution de la température (en degrés Celsius) depuis 1974.
picture-in-text

Représenter le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal.
On prendra pour origine le point (1970 ; 19) et comme unités graphiques :
1 cm pour 2 ans sur l'axe des abscisses
5 cm pour 1 degré sur l'axe des ordonnées.
Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?
On désigne par $G_1$ le point moyen des trois premiers points du nuage et par $G_2$ le point moyen des quatre derniers.
a) Calculer les coordonnées de $G_1$ et de $G_2$ et tracer la droite $(G_1G_2)$ sur le graphique.
b) Déterminer une équation de la droite $(G_1G_2)$ .
On considère que cette droite réalise un bon ajustement du nuage.
Si la tendance se confirme, déterminer
a) la température que l'on peut prévoir en 2005, à l'aide d'une lecture graphique ;
b) par le calcul, en quelle année la température aura dépassé 22°C.

Le nuage
Puisque le nuage ne s'écarte pas trop d'une droite, alors : on peut envisager un ajustement affine.
1. a) Concernant le point $G_1$ :
  $x_{G_{1}}=\dfrac{1974+1978+1982}{3}=\boxed{1978}$ et $y_{G_1}=\dfrac{19.12+19.70+19.62}{3}=\boxed{19.48}$
Concernant le point $G_2$ :
$x_{G_{2}}=\dfrac{1986+1990+1994+1998}{4}=\boxed{1992}$ et $y_{G_2}=\dfrac{20+20.6+20.88+20.92}{4}=\boxed{20.6}$
Conclusion :
$\boxed{G_1(1978;19.48) \text{ et } G_2(1992;20.6)}$
1. b) Soit $y=mx+p$ , avec $m$ et $p$ réels à déterminer, l'équation réduite de la droite $(G_1G_2)$ :
  $\left\lbrace\begin{matrix} G_1\in (G_1G_2)\\ G_2\in (G_1G_2) \end{matrix}\right.$
  $\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 19,48=1978m+p~\text{ \red (I)}\\ 20,6=1992m+p~\text{ \red (II)} \end{matrix}\right.$
  $\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 19,48=1978m+p~\text{ \red (I)}\\ 1.12=14m~\text{ \red (II)-(I)} \end{matrix}\right.$
  $\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 19,48=1978m+p\\ m=\dfrac{1,12}{14}=\boxed{0.08} \end{matrix}\right.$
  $\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} p=19,48-1978m=19,48-1978\times 0,08=\boxed{-138,76}\\ m=\boxed{0,08} \end{matrix}\right.$
Donc :
$\boxed{(G_1G_2): y=0,08x-138,76}$
1. a) On trace la droite d'équation $x = 2005$ qui coupe la droite $(G_1G_2)$ en un point, l'ordonnée de ce dernier représente la température qu'on cherche, donc :
  $\boxed{T_{2005}=21,65~^\circ\text{C}}$
2. b) Il faut résoudre l'inéquation : $y>22$
  $y>22 \Longleftrightarrow 0,08x-138,76>22 \Longleftrightarrow 0,08x > 138,76+22 \Longleftrightarrow 0,08x>160,76 \Longleftrightarrow x>\dfrac{160,76}{0,08}\Longleftrightarrow\boxed{x > 2009,5}$
  La température dépassera 22 °C au cours de l'année 2009.
Description SEO : Tu vas comprendre comment un ajustement affine permet de modéliser l’évolution d’une température moyenne et d’en déduire des prévisions concrètes sur plusieurs années.
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Ajustement affine, interpolation et extrapolation (2)

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