Une fonction, c'est quoi ?

I. Définition

$\circ$ Une fonction exprime comment une grandeur dépend d’une autre.
$\circ$ Cette dépendance peut être donnée par un tableau de valeurs, une formule, ou un graphique.

II. Tableaux de valeurs

Exemple 1 :
Un taxi facture $5~€$ de prise en charge, puis $2~€$ par kilomètre.

$\circ$ On observe que pour chaque km parcouru, le prix augmente de $2~€$ : c’est une dépendance.

III. Formule

Exemple 2 :
Dans l’exemple du taxi, le prix payé peut être modélisé par :
$\circ$ $P(x) = 2x + 5$ où $x$ est la distance parcourue.

$\circ$ Cette expression permet de calculer rapidement le prix pour n’importe quelle distance.

On peut vérifier que si je remplace $x$ par 2, je trouve $P(2)=2\times 2+5=9$. dans le tableau de valeurs, le prix de 9 euros était bien indiqué en face de la distance parcourue de 2 km.

IV. Représentation graphique

$\circ$ On peut tracer un graphique à partir du tableau ou de la formule.
$\circ$ Chaque point représente une situation : $(x~;~P(x))$

Exemple~3 :
Pour $x = 0,1,2,3$, on trace les points $(0;5),(1;7),(2;9),(3~;~11)$
$\circ$ Ces points sont alignés : on dit que l'on a une fonction affine.

V. Images et antécédents

L’image d’un nombre est sa valeur dans le tableau ou sur le graphique.

Exemple 4 :
Dans l’exemple du taxi, pour $x = 3$, le prix est $11~€$
On dit que : l’image de $3$ est $11$

Un antécédent est un nombre dont on cherche la valeur qui donne une image donnée.

Exemple 5 :
Quel trajet coûte $13~€$ ?
On regarde dans la deuxième ligne du tableau : $13$ correspond à $x = 4$
On dit que : l’antécédent de $13$ est $4$

VI.Exercices d'application

Exercice 1 : (tableau et formule)

Un cinéma propose une carte à $6~€$ qui donne accès aux séances à $5~€$ au lieu de $10~€$.

$\circ$ Complète le tableau :

Correction :
Formule : $P(x) = 6 + 5x$
$P(1) = 6 + 5 = 11$
$P(2) = 6 + 10 = 16$
$P(3) = 6 + 15 = 21$
$P(4) = 6 + 20 = 26$

Exercice 2 : (lecture graphique)

Sur un graphique, on lit que le point $(3~;~24)$ est sur la courbe d’une fonction.
$\circ$ Quelle est l’image de $3$ ?
$\circ$ Quel nombre a pour image $24$ ?

Correction :
$\circ$ L’image de $3$ est $24$
$\circ$ L’antécédent de $24$ est $3$

Exercice 3 : (une formule)

Une entreprise facture $150~€$ pour la rédaction d’un devis, puis $40~€$ par heure de travail.
$\circ$ Donne une expression du prix payé pour $x$ heures.

Correction :
$\circ$ Prix total : $P(x) = 40x + 150$