I) Les points clés

1) Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. On appelle hypoténuse le côté opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle (le plus grand côté du triangle rectangle).

Exemple : Le triangle ABC est rectangle en A. Son hypoténuse est le côté [BC].

D’après le théorème de Pythagore : $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 8^{2} + 6^{2} = 64 + 36 = 100$

$BC = \sqrt{100} = 10~cm$

Mot-clé
Hypoténuse : On appelle hypoténuse le côté de l'angle opposé à l'angle droit d'un triangle rectangle (le plus grand côté du triangle rectangle).

2) Réciproque du théorème de Pythagore

Si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

II) Démontrer qu'un triangle donné est rectangle ou non

1. Je décris le triangle en indiquant ses trois longueurs exprimées dans l'unité donnée.

2 Je calcule séparément : d'une part, le carré du plus grand côté ; d'autre part, la somme des carrés des deux petits côtés.

3. Je compare ces deux résultats et je conclus s'ils sont égaux ou différents.

Exemple 1

On sait que ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 9 cm et BC = 15 cm. On veut savoir si ce triangle ABC est rectangle ou non.

$BC^{2} = 15^{2} = 225$ et $AB^{2} + AC^{2} = 12^{2} + 9^{2} = 144 + 81 = 225$

Donc $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Or, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, si le carré de la longueur d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Comme $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ , on en déduit que ABC est rectangle en A.

Exemple 2

On sait que ABC est un triangle tel que AB = 11 cm, AC = 7 cm et BC = 13 cm. On veut savoir si ce triangle ABC est rectangle ou non.

$BC^{2} = 13^{2} = 169$ et $AB^{2} + AC^{2} = 11^{2} + 7^{2} = 121 + 49 = 170$

Donc $BC^{2} \ne AB^{2} + AC^{2}$

Or, si ABC était un triangle rectangle, son hypoténuse serait [BC], son plus grand côté, et, d'après le théorème de Pythagore, on aurait alors $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$ .

Comme $BC^{2} \ne AB^{2} + AC^{2}$ , on en déduit que ABC n’est pas rectangle.