Suites arithmétiques

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A) Définition, sens de variation et représentation graphique

Définition
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s’obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison.

Pour tout nombre entier naturel n, un+1 = unr.

Exemple
La suite (un) des nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme u0 = 0 de raison r = 2 : pour tout entier naturel n, un+1 = un + 2.

Soit (vn) la suite arithmétique de premier terme v0 = 2 et de raison r = – 1 ;

v1v0r ; v1 = 2 – 1 ; v1 = 1. v2v1r ; v2 = 1 – 1 ; v2 = 0. v3v2r ; v3 = – 1.

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante, si r > 0 ; décroissante, si r < 0 ; constante si r = 0.

La représentation graphique d’une suite arithmétique (un) dans un repère du plan est constituée de points alignés de coordonnées (n, un) alignés sur la droite d’équation y = rx + u0.

B) Suite arithmétique et moyenne arithmétique

Définition
La moyenne arithmétique des deux nombres x et y est le nombre x+y2.

Exemple

La moyenne arithmétique de 10 et 13 est 11,5.

Propriété

Trois nombres a, b, c sont, dans cet ordre, trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si le nombre du milieu b est la moyenne arithmétique des deux autres nombres a et c.

C) Expression du terme un en fonction de n

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :

unu0nr, pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :

unu1 + (n – 1)r, pour tout entier naturel n.

Exemple

La suite (un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 3 et de raison r = 2.

u10 = u0 + 10 × r. u10 = 3 + 20 = 23.

D) Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r :

u0+u1++un=n+1u0+un2 pour tout entier naturel n.

Pour une suite arithmétique de premier terme u1 et de raison r :

u1++un=nu1+un2 pour tout entier n de ℕ*.

ℕ* est l’ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.

À retenir

Pour une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique commençant par u0u1, …, on peut retenir que :

Somme de termes successifs=Nombre de termes×Premierterme+Dernierterme2.

Exemple
La suite arithmétique (un) est définie par le premier terme u0 = 500 et la raison r = 25.
On note Su0u1 + … + u9. u9u0 + 9 × r ; u9 = 500 + 225 ; u9 = 725.

S=10×u0+u92 ; S=10×500+7252;S=6125.De u0 à u9, il y a 10 termes.