Relation de Bernoulli

Le principe de conservation de l’énergie appliqué au mouvement d’un fluide parfait incompressible, s’écoulant en régime permanent et sans frottement, permet d’aboutir à la relation de Bernoulli.

I) Relation de Bernoulli

Un fluide parfait est un fluide « parfaitement fluide » : son écoulement n’est pas freiné par la viscosité contre les parois. C’est un cas idéal.

À partir du principe de la conservation de l’énergie mécanique et parce qu’il ne subit pas de frottement, on peut écrire pour un fluide parfait, incompressible et en écoulement permanent, en deux points d’une même ligne de courant :

$P_A + \frac{1}{2} \times ρ \times v{_A}^2 + ρ \times g \times z_A$

$= P_B + \frac{1}{2} \times ρ \times v{_B}^2+ ρ \times g \times z_B$

avec $P_{\text{A}}$ et $P_{\text{B}}$ en Pa ; ρ en kg · m⁻³ ; g en N · kg⁻¹ ; v_A et v_B en m · s⁻¹ ; z_A et z_B hauteurs des points A et B en m.

Mot-clé

Une ligne de courant est une courbe tangente en chacun de ses points, à chaque instant et localement, au vecteur vitesse de l’écoulement.

Interprétation : dans le cas d’un écoulement permanent sur toute la section du tuyau d’un fluide parfait et incompressible, une augmentation de vitesse du fluide en un point implique une diminution de la pression en ce même point.

Si le fluide est immobile, la relation de Bernoulli devient :

$P_{\text{A}}+\text{ρ}\times g\times z_{\text{A}}=P_{\text{B}}+\text{ρ}\times g\times z_{\text{B}}$ soit : $P_{\text{B}}-P_{\text{A}}=\text{ρ}\times g\times \left(z_{\text{A}}-z_{\text{B}}\right)$.

On retrouve le principe fondamental de la statique des fluides (étudié en classe de 1^re) qui est donc un cas particulier de l’équation de Bernoulli.

II) Effet Venturi

On considère un fluide incompressible s’écoulant dans un tuyau à étranglement qui a deux sections différentes (S_A = S_C > S_B).

D’après le principe de continuité, le débit est conservé, donc on a :

D_A = D_B = D_C d’où $S_{\text{A}}\times v_{\text{A}}=S_{\text{B}}\times v_{\text{B}}$.

Si $z_{\text{A}}=z_{\text{B}}$, la relation de Bernoulli devient $P_{\text{A}}-P_{\text{B}}=\frac{1}{2}\text{ρ}\left(v_{\text{B}}{}^2-v_{\text{A}}{}^2\right)$.

Comme S_A > S_B, $v_{\text{B}}>v_{\text{A}}$, alors : $P_{\text{A}}>P_{\text{B}}$.

On en conclut que lorsqu’un fluide traverse une section de plus faible diamètre, la pression diminue et la vitesse augmente : ce phénomène est appelé effet Venturi.

Méthode

Calculer une vitesse d’écoulement

On considère un réservoir rempli d’eau à une hauteur H = 2,5 m. Un trou de vidange de diamètre d₂ = 10 mm est situé à sa base. Le réservoir à un diamètre d₁, tel que d₁ >> d₂.

a. Quelles sont les valeurs de la pression à la surface de l’eau dans le réservoir P_A et à la sortie du trou de vidange P_B ?

b. Expliquer pourquoi on peut négliger v_A par rapport à v_B.

c. À partir de la relation de Bernoulli :

$P_{\text{A}}+\frac{1}{2}\text{ρ}{v}_{\text{A}}{}^2+\text{ρ}g{z}_{\text{A}}=P_{\text{B}}+\frac{1}{2}\text{ρ}{v}_{\text{B}}{}^2+\text{ρ}g{z}_{\text{B}}$,

calculer la vitesse v_B de l’eau lors de son écoulement par le trou de vidange.

Données : P_atm = 1,0 × 10⁵ Pa ; masse volumique de l’eau ρ_eau = 1 000 kg · m⁻³ intensité de la pesanteur : g = 9,81 N · kg⁻¹.

Conseils

a. La surface d’un fluide en contact avec l’atmosphère est à la pression atmosphérique : au niveau du trou de vidange, l’eau qui sort de la cuve subit la pression de l’air.

b. Servez-vous du principe de continuité pour exprimer v_A en fonction de v_B.

c. Exprimez la relation de Bernoulli en tenant compte des réponses aux questions précédentes. Veillez à ne pas oublier la racine carrée dans l’expression de v_B.

Solution

a. La surface de l’eau du réservoir et l’eau à la sortie du trou de vidange sont à la pression atmosphérique, soit P_A = P_B = P_atm = 1,0 × 10⁵ Pa.

b. D’après le principe de continuité, nous avons $S_{\text{A}}\times v_{\text{A}}=S_{\text{B}}\times v_{\text{B}}$.

c. La relation de Bernoulli donne : $\frac{2\left(P_{\text{A}}-P_{\text{B}}\right)}{\text{ρ}}+2\times g\times \left(z_{\text{A}}-z_{\text{B}}\right)=\left(v_{\text{B}}{}^2-v_{\text{A}}{}^2\right)$

Grâce aux questions précédentes, on peut simplifier l’expression :

D’où $v_{\text{B}}=\sqrt{2\times g\times H}$. Soit $v_{\text{B}}=\sqrt{2\times \mathrm{9,81}\times \mathrm{2,5}}=\mathrm{7,0}\text{m}\cdot {\text{s}}^{-1}$.