Rechercher des multiples et des diviseurs

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I. Rappels de cours

1) Multiples et diviseurs

 L’entier naturel non nul a est un multiple de l’entier naturel b s’il existe un entier m tel que a=m×b.

Exemple : 91 est un multiple de 13 car 91=7×13 (91 est aussi un multiple de 7).

 L’entier naturel non nul d est un diviseur de l’entier naturel a si la division de a par d se fait exactement, c’est-à-dire sans reste.

À savoir
Le nombre 1 est un diviseur de tous les nombres !

Exemples :

  • 5 est un diviseur de 15, car la division de 15 par 5 ne donne pas de reste.
  • 11 n’est pas un diviseur de 28, car la division de 28 par 11 donne un reste qui vaut 6.

2) Critères de divisibilité par 2, par 3, par 4, par 5 et par 10

Un entier naturel est divisible :

  • par 2 si son chiffre des unités est 0 ou un nombre pair.

Exemple : 146 est divisible par 2 car ce nombre se termine par 6, qui est un nombre pair.

  • par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

Exemple : 258 est divisible par 3, car 2 + 5 + 8 = 15, qui est un multiple de 3.

  • par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Exemple : 5 468 est divisible par 4 car 68 est divisible par 4.

  • par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Exemple : 285 est divisible par 5 car ce nombre se termine par le chiffre 5.

  • par 10 s’il se termine par 0.

Exemple : 750 est divisible par 10 car ce nombre se termine par le chiffre 0.

À savoir
Ces critères sont à connaître par cœur ! Ils permettent de gagner beaucoup de temps !

II. Méthodes

1) Rechercher des multiples communs de deux entiers naturels

Soient les entiers 15 et 18. Trouver leur(s) multiple(s) commun(s) inférieurs à 140.

Solution

Les multiples de 15 inférieurs à 140 sont :

15  30  45  60  75  90  105  120 et 135.

Les multiples de 18 inférieurs à 140 sont :

18  36  54  72  90  108 et 126.

Conclusion : il existe un seul multiple commun à 15 et 18 qui soit inférieur à 140. Il s’agit de 90.

2) Rechercher les diviseurs d’un entier naturel

Quels sont les 12 diviseurs du nombre 60 ?

Solution

Nous pouvons remarquer que 60=2×2×3×5.

Les diviseurs de 60 sont :

1  2  3  4  5  6  10  12  15  20  30 et 60.

3) Résoudre un problème grâce à la divisibilité

Deux coureurs cyclistes A et B parcourent, à vitesse constante et dans le même sens, une piste circulaire. Ils partent en même temps du même point. A effectue un tour de piste en 20 s et B a besoin de 25 s pour faire lui aussi un tour de piste.

a. Au bout de combien de temps A et B repasseront-ils pour la première fois en même temps au point de départ ?

b. Combien chaque coureur aura-t-il effectué de tours de piste quand ils passeront en même temps sur la ligne de départ pour la première fois ?

Solution

a. Les multiples de 20 sont : 20  40  60  80  100  120, etc.

Les multiples de 25 sont : 25  50  75  100  125, etc.

Le plus petit multiple commun de 20 et de 25 est 100. Après 100 s, A et B repassent pour la première fois ensemble au point de départ.

b. On remarque que 100=5×20=4×25.

Au bout de 100 s, A a effectué 5 tours de piste tandis que B en a effectué 4.