Racine carrée d'un nombre positif

I) Les points clés

• La racine carrée d'un nombre positif N est le nombre positif dont le carré est égal à N. Elle se note $\sqrt{N}$.

$N \geq 0$

$\sqrt{N} \geq 0$

$(\sqrt{N})^{2} = \sqrt{N} \times \sqrt{N} = N$

$\sqrt{N^{2}} = N$

Exemples :

$(\sqrt{25})^{2} = 5^{2} = 25$

$(\sqrt{19})^{2} = 19$

$(\sqrt{137})^{2} = 137$

$\sqrt{6^{2}} = \sqrt{36} = 6$

$\sqrt{13^{2}} = 13$

$\sqrt{129^{2}} = 129$

Mots-clés

• Radical : Le radical est le nom donné au symbole $\sqrt{}$.
• Carré parfait : Il s'agit d'un nombre dont la racine carrée est un nombre entier.

II) Un peu de méthode

1) Déterminer la racine carrée d'un nombre

Une racine carrée peut être :

- un nombre entier ;

- un nombre décimal ;

- un nombre rationnel, c'est-à-dire un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers ;

- un nombre irrationnel, c'est-à-dire un nombre qui ne soit ni entier, ni décimal, ni rationnel.

• Illustrons les différents cas possibles.

Exemples :

• $8 \times 8 = 64$, donc $\sqrt{64} = 8$, qui est un nombre entier.
• $0,5^{2} = 0,25$, donc $\sqrt{0,25} = 0,5$, qui est un nombre décimal.
• $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$, donc $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
• $(\sqrt{2})^{2}$, donc la valeur exacte de la racine carrée de 2 s'écrit $\sqrt{2}$.

La calculatrice permet d'en donner une valeur approchée : $\sqrt{2} = 1,414213562...$

2) Encadrer la racine carrée d'un entier positif par deux nombres entiers

• Je cherche à encadrer la racine carrée de 132.

Je sais que $121 \langle 132 \langle 144$ et que 121 et 144 sont des carrés parfaits dont les racines respectives sont 11 et 12.

Donc je peux en déduire que $11 \langle \sqrt{132} \langle 12$.