Propriétés de l’intégrale

L’intégrale possède des propriétés qui facilitent son calcul ou son encadrement, ce qui permet d’en obtenir une valeur approchée.

I) Propriétés relatives aux bornes

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b de I, on a :

 ${\int }_a^{a}f\left(t\right)\text{d}t=0$

 ${\int }_b^{a}f\left(t\right)\text{d}t=-{\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t$

À noter

La variable t est muette. On note indifféremment ${\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t,$${\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x,$ etc.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous a, b, c de I, on a :

${\int }_a^{c}f\left(t\right)\text{d}t={\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t+{\int }_b^{c}f\left(t\right)\text{d}t$

II) Linéarité de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle I. Pour tous a, b de I et pour tout λ réel, on a :

${\int }_a^b\left(f\left(t\right)+g\left(t\right)\right)\text{d}t={\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t+{\int }_a^{b}g\left(t\right)\text{d}t$

${\int }_a^b\text{λ}f\left(t\right)\text{d}t=\text{λ}{\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t$

III) Positivité et croissance de l’intégrale

Soient f et g des fonctions continues sur un intervalle $\left[a;b\right],$$a\le b.$

Si $f\left(t\right)\ge 0$ pour tout $t\in \left[a;b\right],$ alors ${\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t\ge 0$

Si $f\left(t\right)\ge g\left(t\right)$ pour tout $t\in \left[a;b\right],$ alors ${\int }_a^{b}f\left(t\right)\text{d}t\ge {\int }_a^{b}g\left(t\right)\text{d}t$

IV) Intégration par parties

Soient u et v deux fonctions dérivables à dérivées continues sur un intervalle $\left[a;b\right],$$a\le b.$ Alors :

${\int }_a^b{u}^{\prime }\left(t\right)v\left(t\right)\text{d}t={\left[u\left(t\right)v\left(t\right)\right]}_a^b-{\int }_a^{b}u\left(t\right)v^{\prime }\left(t\right)\text{d}t$

Conseils

Étape 1 Encadrez la fonction $t\mapsto \frac{t^3}{1+t^2}$ sur l’intervalle d’intégration $\left(0;2\right)$ par des fonctions dont on sait déterminer une primitive.

Étape 2 Utilisez la positivité et la croissance de l’intégrale.

Conseils

Identifiez les fonctions $u^{\prime }$ et v du théorème, de telle sorte que l’intégrale ${\int }_0^{1}u\left(t\right)v^{\prime }\left(t\right)\text{d}t$ soit facile à calculer.