Pour un point donné, on peut avoir besoin de connaître la distance de ce point à une droite ou à un plan de l’espace. Pour calculer cette distance, on utilise le projeté orthogonal de ce point sur la droite ou le plan.
I) Projeté orthogonal d’un point sur une droite de l’espace
Définition
Pour une droite et un point le projeté orthogonal du point A sur la droite est le point tel que le vecteur est orthogonal à la droite c’est-à-dire que est un vecteur normal à la droite .
Propriété
Si la droite admet pour vecteur directeur le vecteur alors : .
Distance d’un point à une droite
Si le projeté orthogonal du point A sur la droite est le point H, alors la distance du point A à la droite est : .
II) Projeté orthogonal d’un point sur un plan de l’espace
Définition
Pour un plan et un point le projeté orthogonal du point A sur le plan est le point tel que le vecteur est orthogonal au plan , c’est-à-dire que est un vecteur normal au plan .
Propriétés
Si le plan est défini par la donnée d’un point et de deux vecteurs et non colinéaires, ou bien du vecteur normal alors : et les vecteurs et sont colinéaires.
Distance d’un point à un plan
Si le projeté orthogonal du point A sur le plan est le point H, alors la distance du point A au plan est : d(A ; ) = AH.
Méthode
Déterminer le projeté orthogonal d’un point sur un plan
ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. L’espace est rapporté au repère orthonormal .
1. Soit I le point défini par :
.
a. Démontrer que .
b. Calculer les coordonnées du point I.
2. Prouver que I est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDE).
Conseils
1. a. Utilisez la relation de Chasles en faisant apparaître le vecteur .
b. Déduisez les coordonnées du point I de celles du point G.
2. Montrez que est un vecteur normal au plan (BDE).
Solution
1. a. En décomposant les trois vecteurs, on a puis donc .
1. b. On a , donc les coordonnées du point G dans le repère orthonormal sont G(1 ; 1 ; 1).
2. Puisque le point I appartient au plan (BDE), il suffit de montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (BDE).
Le vecteur est donc un vecteur normal au plan (BDE) puisqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.