La définition du produit scalaire donnée dans le plan peut être étendue à l’espace. On retrouve alors les mêmes propriétés que dans le plan.
I) Définition
Soit et deux vecteurs de l’espace.
Si ou alors .
Si et alors :
où l’angle est défini comme en géométrie plane.
À noter
Comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est un nombre réel.
II) Propriétés
Soit et des vecteurs de l’espace, et un nombre réel.
Commutativité et distributivité
Norme
noté aussi (carré scalaire du vecteur )
Orthogonalité
ou ou ⊥
III) Expression analytique du produit scalaire
(avec et et ).
Méthode
Calculer des distances dans l’espace
1. Démontrer que le tétraèdre est régulier, c’est-à-dire que toutes ses arêtes sont de même longueur.
2. a. Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme.
b. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.
Conseils
1. Identifiez les arêtes et montrez qu’elles sont de même longueur.
Solution
1.
On démontre de même que .
2. a. Le point R est le milieu de [AC], donc il a pour coordonnées , soit . On obtient de même :
.
On en déduit que :
soit .
Ainsi, donc le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.
b. On a .
De même soit .