Pourcentage de pourcentage

Objectif de la leçon
Savoir interpréter et calculer un pourcentage de pourcentage dans le cas où une sous-population est incluse dans une autre. Cette compétence permet de traiter des situations où plusieurs niveaux d’appartenance se combinent.

I. Comprendre les pourcentages emboîtés

Lorsqu’un groupe est inclus dans un autre, et qu’on connaît un pourcentage à chaque niveau, on peut calculer la proportion finale en multipliant les deux pourcentages (exprimés sous forme décimale).

Si $A$ est une sous-population de $B$, et $B$ une sous-population de $C$, alors la proportion de $A$ dans $C$ est :
$\text{Proportion}{A/C} = \text{Proportion}{A/B} \times \text{Proportion}{B/C}$

II. Exemples simples

Exemple 1
Dans un lycée de 1000 élèves :

• 60 % sont des filles → soit 600 filles

• parmi ces filles, 25 % font de l’espagnol → soit $0{,}25 \times 600 = 150$

Donc 150 élèves sur 1000 sont des filles qui font de l’espagnol, soit :
$\dfrac{150}{1000} = 0{,}15 = 15$

Méthode directe :
$\text{Proportion} = 0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15 = 15$

Exemple 2

Dans une entreprise :

• 80 % des salariés sont à temps plein

• parmi eux, 40 % sont en télétravail

Quel pourcentage total de salariés sont à temps plein ET en télétravail ?
$0{,}80 \times 0{,}40 = 0{,}32 = 32 \%$

⚠️ Attention aux pièges
On ne peut pas additionner des pourcentages quand ils s’appliquent à des sous-populations différentes.

⚠️ Exemple incorrect :⚠️
"Il y a 60 % de filles et 25 % d’entre elles font de l’espagnol, donc 85 % font de l’espagnol."
→ Faux : on doit multiplier les proportions.

Interprétation verbale
👉 On dit : "25 % des 60 % d’élèves filles, soit 15 % des élèves au total, font de l’espagnol."

À retenir

Pourcentages emboîtés = multiplication des proportions

• Travailler en valeur décimale puis convertir en pourcentage

• Ne jamais additionner des pourcentages de sous-populations différentes