Dans l’espace, deux droites ne sont pas nécessairement coplanaires. Il en résulte une nouvelle classification des positions relatives de deux droites de l’espace.
I) Étude des positions relatives de deux droites
1) Droites coplanaires
Si deux droites et de l’espace sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes soit parallèles.
2) Droites non coplanaires
Si deux droites et ne sont pas coplanaires, aucun plan ne les contient toutes les deux et elles n’ont aucun point d’intersection.
Deux droites de l’espace sont orthogonales lorsque les parallèles à ces droites passant par un point donné sont perpendiculaires (dans le plan qu’elles forment).
Mot-clé
Dans l’espace, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes. Attention à bien faire la différence avec l’orthogonalité.
II) Propriétés des droites de l’espace
Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre, et toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.
Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est orthogonale à l’autre. Mais, toute droite orthogonale à l’une n’est pas forcément parallèle à l’autre.
Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.
Méthode
Étudier la position relative de deux droites dans un cube
Dans le cube représenté ci-contre :
– le point J est le milieu du segment .
Donner la position relative des droites :
a. et
b. et
c. et
d. et
e. et
f. et
g. et
Conseils
Utilisez le fait que ABCDEFGH est un cube et les propriétés des faces et des arêtes d’un cube.
Solution
a. Les droites et sont parallèles dans le plan qui est aussi le plan .
b. Les droites et sont orthogonales.
À noter
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale (donc en particulier perpendiculaire) à l’une est orthogonale à l’autre.
c. Les droites et sont perpendiculaires en D, car la face ADHE du cube est un carré.
d. Les droites et sont non coplanaires car aucun plan ne les contient toutes les deux.
e. Les droites et sont sécantes.
f. Les droites et sont perpendiculaires car elles sont sécantes en I et orthogonales.
g. Les droites et sont orthogonales.
En effet : // , et et sont perpendiculaires (d’après la question f.).