Polyèdres usuels

De nombreux objets de la vie courante peuvent être assimilés à des polyèdres qu’on appelle polyèdres usuels.

I) Leçon

1. Généralités

$\rightarrow$ Un polyèdre est un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones.

$\rightarrow$ L’intersection de deux faces est une arête. Une arête est donc un segment.

$\rightarrow$ L’intersection de deux arêtes est un sommet. Un sommet est donc un point.

2. Perspective cavalière

$\rightarrow$ Une difficulté consiste à représenter dans le plan (dimension 2) un solide de l’espace (dimension 3). Cela suppose la mise en place de conventions. Il existe différentes façons de réaliser cette représentation, dont la perspective cavalière. Il s’agit de l’image obtenue en projetant le solide (par une projection oblique) sur un plan parallèle à une face du solide. Ce plan est appelé plan de projection.
Exemple : Représentation en perspective cavalière d’un solide.

$\rightarrow$ Dans cette projection :

• les faces parallèles au plan de projection sont représentées sans déformation (par exemple, ABCD dans l’exemple ci-dessous) ;
• les droites perpendiculaires au plan de projection se projettent selon une direction qui est toujours la même, appelée direction des fuyantes ; l’angle avec la direction horizontale est généralement de 30°, 45°, 55°..., appelé angle des fuyantes ;
• les distances sur la direction des fuyantes sont réduites : le coefficient utilisé est souvent compris entre 0,5 et 0,7 ;
• les arêtes cachées sont représentées en pointillés.

3. Polyèdres usuels

$\rightarrow$ Le cube est un polyèdre qui a six faces qui sont des carrés.

$\rightarrow$ Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide qui a six faces rectangulaires.
Conséquence : un cube est donc un pavé droit particulier.

$\rightarrow$ Le prisme droit est un polyèdre qui a deux faces superposables, les autres sont des rectangles. Ci-dessous est représenté un prisme droit dont la base est un pentagone.
La hauteur d’un prisme droit est la distance entre les deux bases.
Conséquence : un pavé droit est donc un prisme droit particulier.

$\rightarrow$ La pyramide est un polyèdre dont une face est un polygone (appelé base de la pyramide) et dont toutes les autres faces sont des triangles dont un côté est un côté de la base et qui ont toutes un sommet commun (appelé sommet de la pyramide).
La hauteur d’une pyramide est le segment qui joint son sommet et le point d’intersection de la droite qui passe par le sommet et qui est perpendiculaire au plan de base.
Ci-dessous est représentée une pyramide dont la base est un pentagone et de hauteur SH.
Une pyramide qui a une base triangulaire (donc toutes ses faces sont des triangles) est appelée tétraèdre.
Une pyramide est régulière si sa base est un polygone régulier et si sa hauteur joint le sommet au centre du polygone régulier (centre du cercle qui passe par les sommets du polygone). Dans ce cas, toutes ses faces latérales sont des triangles isocèles superposables.

II) Ce qu'il faut savoir faire

$\Rightarrow$ Compléter, tracer la perspective cavalière d’un polyèdre

III) Je m'entraîne

1. Compléter le tracé d’une perspective cavalière de ces trois polyèdres.

2. Tracer une perspective cavalière d’un pavé droit de dimensions 4 cm, 2 cm et3 cm dont la face de 4 cm par 3 cm est une face parallèle au plan de projection, dont l’angle des fuyantes est de 30° et le coefficient de réduction des fuyantes est 0,5.