On peut déterminer les limites de fonctions en utilisant les opérations sur les limites ou en comparant les fonctions.

I) Opérations sur les limites

Les résultats des opérations sur les limites sont admis. La limite d’une somme de fonctions se calcule de la même façon que la limite d’une somme de suites. Dans les tableaux ci-dessous, « F. I. » désigne une forme indéterminée.

1) Limite d’un produit

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2) Limite d’un quotient

2f2239b3-a660-4f6a-a8ad-fc59fc43b46c

44e2ec0d-ac3c-49f8-b04a-8463c1eade69

II) Comparaison et encadrement

Théorème 1 : Soient f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle I telles que pour tout x de I : $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ ou $f (x) < g (x) < h (x)$ .

Si $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = l et \lim_{x \to x_{0}} h (x) = l^{'}$ , alors $l \leq \lim_{x \to x_{0}} g (x) \leq l^{'}$ .

Théorème 2 : Soient f, g, h trois fonctions définies sur un intervalle I telles que pour tout x de I : $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ ou $f (x) < g (x) < h (x)$ .

Si $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = l et \lim_{x \to x_{0}} h (x) = l$ , alors $\lim_{x \to x_{0}} g (x) = l$ .

Méthode

Déterminer la limite en l’infini d’une fraction rationnelle

a. Déterminer la limite lorsque x tend vers $+ \infty$ de $3 x^{2} + 3 x + 1$ , puis celle de $2 x - 1$ .

b. Déterminer la limite en $+ \infty$ de $f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 1}$ .

Conseils
b. Pour lever la forme indéterminée, factorisez le numérateur et le dénominateur par les termes de plus haut degré.

Solution

a. $\lim_{x \to + \infty} 3 x^{2} = + \infty$ ; $\lim_{x \to + \infty} 3 x = + \infty$ et $\lim_{x \to + \infty} 1 = 1$ . Ainsi $\lim_{x \to + \infty} (3 x^{2} + 3 x + 1) = + \infty$ .

De même, $\lim_{x \to + \infty} (2 x - 1) = + \infty$ .

b. Le numérateur et le dénominateur de cette fraction ont pour limite $+ \infty$ : il s’agit d’une forme indéterminée.

Pour lever cette indétermination, on factorise le numérateur et le dénominateur par les termes de plus haut degré. On a alors :

$f (x) = \frac{2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 1} = \frac{2 x (1 - \frac{1}{2 x})}{3 x^{2} (1 + \frac{3 x}{3 x^{2}} + \frac{1}{3 x^{2}})} = \frac{2 (1 - \frac{1}{2 x})}{3 x (1 + \frac{3}{3 x} + \frac{1}{3 x^{2}})}$ .

$\lim_{x \to + \infty} 2 (1 - \frac{1}{2 x}) = 2$ car $\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{2 x} = 0$ et $\lim_{x \to + \infty} (1 - \frac{1}{2 x}) = 1$ .

De plus, $\lim_{x \to + \infty} (1 + \frac{3}{3 x} + \frac{1}{3 x^{2}}) = 1$ et $\lim_{x \to + \infty} 3 x = + \infty$ ,

donc $\lim_{x \to + \infty} 3 x (1 + \frac{3}{3 x} + \frac{1}{3 x^{2}}) = + \infty .$ Ainsi, d’après le tableau donnant la limite d’un quotient, on déduit que $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

À noter
On remarque que $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{2}{3 x}$ . D’une façon générale, la limite en $+ \infty$ (ou $- \infty$ ) d’une fraction rationnelle est égale à la limite en $+ \infty$ (ou $- \infty$ ) du rapport de ses termes prépondérants, c´est-à-dire de plus haut degré.