Maîtriser les quatre opérations élémentaires sur les nombres relatifs

Légende de la leçon

Vert : définition

I. Rappels de cours

1) Nombre relatif

 Un nombre relatif est composé de deux éléments : son signe et sa distance à 0.

Exemples :

$+ 2,5$ est un nombre relatif positif dont la distance à $0$ est $2,5$.

$- 3,5$ est un nombre relatif négatif dont la distance à $0$ est $3,5$.

 Un nombre relatif peut être représenté sur une droite graduée.

2) Addition de nombres relatifs

 La somme de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif dont :

• le signe est le signe commun aux deux nombres, 

• la distance à $0$ est la somme de leurs distances à $0$.

Exemples : $(+ 2,4)+(+ 3,7)=+ 6,1$ et $(- 4,4)+(- 2,1)=- 6,5$

 La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif dont :

• le signe est celui du nombre possédant la plus grande distance à $0$, 

• la distance à $0$ est la différence de leurs distances à $0$.

Exemples : $(- 2,4)+(+ 3,7)= 1,3$ et $(- 4,4)+(+ 2,1)=- 2,3$

3) Soustraction de nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif d’un autre nombre relatif, on lui ajoute son opposé.

Exemples  :

$(+ 5,25)-(+ 3,7)=(+ 5,25)+(- 3,7)=+ 1,55$

$(- 5,25)-(+ 3,7)=(- 5,25)+(- 3,7)=- 8,95$

4) Multiplication, division de nombres relatifs

 Le produit (ou la division) de deux nombres relatifs est un nombre relatif dont le signe est donné par la « règle des signes » et dont la distance à $0$ est le produit (ou la division) de leurs distances à zéro.

 La « règle des signes » est la suivante :

• Le produit (ou la division) de deux nombres de même signe est positif.

• Le produit (ou la division) de deux nombres de signes différents est négatif.

Exemples :

$(+ 5,25)\times(+ 2)=+ 10,5$ et $(+ 4,9)\times(- 2)=- 9,8$

$(+ 1,87)\div(- 1,1)=- 1,7$ et $(- 4,48)\div(- 3,2)=+ 1,4$

II. Méthodes

1) Calculer avec des nombres relatifs

Compléter les égalités suivantes :

a. $(-5)\times(...)=-7,5$

c. $(- 6,45)+(...)=- 7,5$

b. $(-3,7)-(...)=+5,5$

d. $(-6,45)\div(...)=-1,5$

Solution

a. $(-5)\times(+1,5)=-7,5$

c. $(-6,45)+(-1,05)=-7,5$

b. $(-3,7)-(-9,2)=+5,5$

d. $(-6,45)\div(+4,3)=-1,5$

2) Effectuer des calculs enchaînés

On donne $x=-5$, $y=+3,2$, $z=-2,4$ et $t=+4,8$. Donner les écritures décimales des nombres suivants :

a. $A=x+yz-t$

b. $B=3x-2z-4y+3t$

Conseils

Calcule séparément le numérateur, puis le dénominateur de A. Déduis-en alors A. Procéde de la même façon pour calculer B.

Solution

a. Notons respectivement NA et DA le numérateur et le dénominateur de A.

$NA=(-5)+(+3,2)=-1,8$

et $DA=(-2,4)-(+4,8)=-7,2.$

Alors $A=-1,8-7,2$, soit $A=+0,25$.

b. De même, nous avons $NB=3(-5)-2(-2,4)=-10,2$

et $DB=-4(+3,2)+3(+4,8)=+1,6$.

Alors $B=-10,2+1,6=-6,375$.