Maîtriser les puissances

I. Définition d'une puissance

On appelle puissance d’un nombre une expression de la forme $a^n$, où :

• $a$ est la base

• $n$ est l’exposant

Cela signifie que l’on multiplie $a$ par lui-même $n$ fois :
$a^n = a \times a \times \cdots \times a \quad (n \text{ fois})$

Exemples :

• $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$

• $5^1 = 5$

• $3^0 = 1$ (par convention)

II. Règles d'opérations sur les puissances

a) Produit de puissances de même base

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

On garde la base, on additionne les exposants.

Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$

b) Quotient de puissances de même base

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

On garde la base, on soustrait les exposants.

Exemple : $\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$

c) Puissance d’une puissance

$(a^m)^n = a^{m \times n}$

On garde la base, on multiplie les exposants.

Exemple : $(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8$

d) Produit de puissances de bases différentes mais même exposant

$a^n \times b^n = (a \times b)^n$

Exemple : $2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$

e) Quotient de puissances de bases différentes mais même exposant

$\dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n$

Exemple : $\dfrac{6^4}{2^4} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^4 = 3^4$

f) Cas particuliers

• $a^0 = 1$ (si $a \ne 0$)

• $a^1 = a$

• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

Exemples :

• $4^0 = 1$

• $7^1 = 7$

• $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$

III. Exemples d’application

1. Simplifier : $x^5 \times x^3 = x^{8}$

2. Calculer : $(10^2)^3 = 10^{6} = 1\ 000\ 000$

3. Simplifier : $\dfrac{y^7}{y^2} = y^5$

4. Évaluer : $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$

IV. Conseils de méthode

• Vérifie toujours si les bases sont identiques avant d’appliquer une règle.

• Attention aux puissances négatives : elles signifient un inverse.

• Apprends à reconnaître les cas particuliers ($a^0$, $a^1$, $a^{-n}$).