Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.
I) Dans un repère cartésien
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) : .
Les coordonnées (ax ; ay ; az) de sont les dérivées par rapport au temps t des coordonnées (vx ; vy ; vz) de ou les dérivées secondes des coordonnées (x ; y ; z) du vecteur position :
Le vecteur accélération a pour :
origine : le point M ;
direction et sens : celui du vecteur ;
valeur : a (en m · s−2).
II) Dans le repère de Frenet
Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté (M, , ). Dans ce repère :
(v valeur de la vitesse)
( : dérivée de la vitesse par rapport à t) ;
(R : rayon de la trajectoire).
À noter
et sont deux vecteurs unitaires liés au point M. est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et est perpendiculaire à et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.
> 0, donc et sont de même sens : l’accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.
Méthode
Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse
M est un point mobile dans le plan (O, x, y).
Son vecteur vitesse à une date t est :
.
a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération .
b. Tracer le vecteur accélération à t = 1 s.
c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse : = − .
d. En déduire le tracé du vecteur à t = 1 s.
e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.
Conseils
a. Dérivez les coordonnées vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse.
b. Le vecteur accélération est tracé à partir de M1.
c. Pour tracer , il faut mettre bout à bout et − à partir de M1.
d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur . Entre deux dates proches, t0 et t2, on peut écrire : .
Solution
a. = 2 × t − 3 et = 2.
Soit : .
b. Le vecteur est tracé en M1 : voir figure.
c. Le vecteur variation de vitesse est tracé à partir de M1, on obtient .
d. La variation se produit entre t = 0 s et t = 2 s pendant 2 s, on a donc :
e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis.