Le vecteur accélération

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Pour rendre compte des modifications de vitesse, on définit le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse dont il exprime les variations à chaque seconde.

I) Dans un repère cartésien

Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps (dérivée seconde du vecteur position) : aM=dvMdt=d2OMdt2.

Les coordonnées (ax ; ay ; az) de aM sont les dérivées par rapport au temps t des coordonnées (vx ; vy ; vz) de vM ou les dérivées secondes des coordonnées (; ; z) du vecteur position OM :

aM=axi+ayj+azk\overrightarrow{a_M} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

=dvxdti+dvydtj+dvzdtk=\frac {dv_x}{dt} \vec{i} + \frac {dv_y}{dt} \vec{j} + \frac {dv_z}{dt} \vec{k}

=d2xdt2i+d2ydt2j+d2zdt2k= \frac{d^2x}{dt^2} \vec{i} + \frac{d^2y}{dt^2} \vec{j} + \frac{d^2z}{dt^2} \vec{k}

Le vecteur accélération aM a pour :

origine : le point M ;

direction et sens : celui du vecteur Δv ;

valeur : a =ax2+ay2+az2 (en m · s2).

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II) Dans le repère de Frenet

Les mouvements circulaires sont souvent étudiés dans un repère lié au point mobile M, appelé repère de Frenet et noté (M, t, n). Dans ce repère :

v=vt (v valeur de la vitesse)

a=at+an=att+ann=dvdtt+v2Rn

at=dvdt (dvdt : dérivée de la vitesse par rapport à t) ;

an=v2R (R : rayon de la trajectoire).

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À noter

t et n sont deux vecteurs unitaires liés au point M. t est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement et n est perpendiculaire à t et orienté vers l’intérieur de la trajectoire.

v2R > 0, donc a et n sont de même sens : l’accélération est toujours dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.


Méthode

Déterminer le vecteur accélération à partir du vecteur vitesse

M est un point mobile dans le plan (O, x, y).

Son vecteur vitesse à une date t est :

vM=2t3i+2j.

a. Déterminer les coordonnées de son vecteur accélération aM.

b. Tracer le vecteur accélération à = 1 s.

c. À la date t = 1 s, tracer le vecteur variation de vitesse : Δv = v2v0.

d. En déduire le tracé du vecteur a à t = 1 s.

e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.

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Conseils

a. Dérivez les coordonnées vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse.

b. Le vecteur accélération est tracé à partir de M1.

c. Pour tracer Δv, il faut mettre bout à bout v2 et − v0 à partir de M1.

d. Le vecteur accélération est tracé à partir du vecteur Δv. Entre deux dates proches, t0 et t2, on peut écrire : aM=d vMdtΔvΔtentre t0et t2.

Solution

a. vx = 2 × t − 3 et vy = 2.

Soit : aM=2i+0j=2i.

b. Le vecteur a1 est tracé en M1 : voir figure.

c. Le vecteur variation de vitesse Δv est tracé à partir de M1, on obtient Δv=4i.

d. La variation se produit entre t = 0 s et t = 2 s pendant 2 s, on a donc :

a1=Δventre t0et t22 = 4i2 = 2i.

e. Les deux résultats sont proches, mais la méthode graphique oblige à réaliser un tracé précis.

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