Le théorème de Gauss

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I. Le théorème de Gauss

$a, b, c$ désignent trois entiers naturels non nuls.

Si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ est premier avec $b$, alors $a$ divise $c$.

Démonstration (au programme)

$a$ et $b$ sont premiers entre eux, il existe donc, d’après le théorème de Bézout, des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.

En multipliant les deux membres de cette égalité par $c$, on obtient $acu + bcv = c$.

Par hypothèse $a$ divise $bc$, donc $a$ divise $bcv$ ; or $a$ divise $acu$, donc $a$ divise $acu + bcv$, c’est-à-dire que $a$ divise $c$.

Remarque

Il est essentiel de vérifier que $a$ est premier avec $b$ car $a$ peut diviser $bc$ en ne divisant ni $b$, ni $c$.

Par exemple : $300 = 15 \times 20$ ; $6$ divise $300$ et pourtant $6$ ne divise ni $15$, ni $20$.

II. Conséquences

$a, b$ désignent des entiers naturels non nuls et $p$ un nombre premier.

Propriété 1 :

Si $p$ divise le produit $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.

Propriété 2 :

$a, b, c$ désignent des entiers naturels non nuls.

Si $b$ et $c$ sont premiers entre eux et divisent $a$, alors $bc$ divise $a$.

III. Exemples et méthodes

Énoncé 1:

Montrer que $a = n(n^2 + 5)$ est divisible par 6

Solution :

1. Montrons que $a$ est divisible par $2$

Nous effectuons une disjonction des cas en fonction de la parité de $n$.

Cas 1 : $n$ est pair
Si $n$ est pair, alors il existe un entier $p$ tel que $n = 2p$.
Substituons dans l’expression de $a$ :

$a = (2p)((2p)^2 + 5)$
$a = 2p(4p^2 + 5)$

Le facteur $2p$ est divisible par $2$, donc $a$ est divisible par $2$.

Cas 2 : $n$ est impair
Si $n$ est impair, alors il existe un entier $p$ tel que $n = 2p + 1$.
Substituons dans l’expression de $a$ :

$a = (2p + 1)((2p + 1)^2 + 5)$
$a = (2p + 1)(4p^2 + 4p + 1 + 5)$
$a = (2p + 1)(4p^2 + 4p + 6)$

Le terme $(4p^2 + 4p + 6)$ est pair car il peut s’écrire $2(2p^2 + 2p + 3)$.
Donc $(2p + 1)(4p^2 + 4p + 6)$ est le produit d’un impair et d’un pair, ce qui est pair.
Ainsi, $a$ est divisible par $2$.

Dans les deux cas, nous avons montré que $a$ est toujours divisible par $2$.

2. Montrons que $a$ est divisible par $3$

Un entier est divisible par $3$ si et seulement si au moins un de ses facteurs dans un produit l’est.

Cas 1 : $n$ est divisible par $3$
Si $n$ est divisible par $3$, alors $a = n(n^2 + 5)$ est divisible par $3$.

Cas 2 : $n$ n'est pas divisible par $3$
Si $n$ n'est pas divisible par $3$, alors $n \equiv 1 \pmod{3}$ ou $n \equiv 2 \pmod{3}$.

Si $n \equiv 1 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$, donc $n^2 + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{3}$.

Si $n \equiv 2 \pmod{3}$, alors $n^2 \equiv 4 \pmod{3}$, donc $n^2 + 5 \equiv 4 + 5 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{3}$.

Dans tous les cas, $n^2 + 5$ est divisible par $3$, donc $a = n(n^2 + 5)$ est toujours divisible par $3$.

3. Conclusion

Nous avons montré que :

$a$ est toujours divisible par $2$, quel que soit $n$.

$a$ est toujours divisible par $3$, quel que soit $n$.

Or, $2$ et $3$ sont premiers entre-eux, donc (2^e conséquence du théorème de Gauss) $a$ est divisible par $6$.

Conclusion : Pour tout entier $n$, $a$ est toujours divisible par $6$.

Énoncé 2 : résoudre une équation diophantienne

$x$ et $y$ désignent des entiers relatifs.

$(E)$ est l'équation $4x-3y=5$.

$1.$ déterminer un couple $(x_0\,;\,y_0)$ solution "évidente" de l'équation $(E)$.

$2.$ Démontrer qu'un couple $(x\,;\,y)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $4(x-x_0)=3(y-y_0)$

$3.$ En déduire tous les couples solutions de $(E)$.

Solution :

1. Trouver une solution particulière $(x_0, y_0)$

Nous cherchons un couple $(x_0, y_0)$ d'entiers qui satisfait l'équation.

Essayons quelques valeurs simples :

Si $x = 2$, alors $4(2) - 3y = 5$, ce qui donne $8 - 3y = 5$, donc $-3y = -3$, donc $y = 1$.

Ainsi, un couple solution "évident" est $(x_0, y_0) = (2,1)$.

2. Montrer que toute solution $(x, y)$ vérifie $4(x - x_0) = 3(y - y_0)$

Soit $(x, y)$ une solution de $(E)$, alors $4x - 3y = 5$.
En soustrayant l'égalité $4x_0 - 3y_0 = 5$ obtenue avec la solution particulière, on a :

$4x - 3y - (4x_0 - 3y_0) = 5 - 5$

$4x - 3y - 4x_0 + 3y_0 = 0$

$4(x - x_0) = 3(y - y_0)$

Ainsi, toute solution $(x,y)$ de $(E)$ vérifie $4(x - x_0) = 3(y - y_0)$.
Réciproquement, si un couple $(x, y)$ vérifie cette relation, alors :

$4(x - x_0) - 3(y - y_0) = 0$

$4x - 4x_0 - 3y + 3y_0 = 0$

$4x - 3y = 4x_0 - 3y_0$

Or, on sait que $4x_0 - 3y_0 = 5$, donc $4x - 3y = 5$.
Donc $(x, y)$ est bien une solution de $(E)$.

Ainsi, $(x, y)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $4(x - x_0) = 3(y - y_0)$.

3. Déterminer toutes les solutions de $(E)$

$4(x - x_0) = 3(y - y_0)$ (1)

$4$ divise $3(y - y_0)$ or $4$ et $3$ sont premiers entre-eux, donc $4$ divise $(y-y_0)$ et

$y - y_0 = 4k$ où $k$ est un entier relatif.

De même : $3$ divise $4(x-x_0)$ et $4$ et $3$ sont premiers entre eux, donc

$x - x_0 = 3k'$ où $k'$ est un entier relatif;

En utilisant $(x_0, y_0) = (2,1)$, on a :

$x - 2 = 3k$ donc $x = 3k + 2$
$y - 1 = 4k'$ donc $y = 4k' + 1$

Remplaçons dans (1) : $4\times 3k=3\times 4k'$ donc $k=k'$.

Ainsi, l’ensemble des solutions de $(E)$ est donné par :

$S=\{(x, y) = (3k + 2, 4k + 1), k \in \mathbb{Z}\}$.