Le quotient de deux nombres

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I) Les points clés

1) Vocabulaire

Le quotient du nombre a par le nombre b peut se noter : ab\frac{a}{b} (a est le numérateur, b est le dénominateur.

 

C'est une écriture fractionnaire.

Exemples : 3,27\frac{3,2}{7} (on lit « 3,2 sur 7 ») et 250,5\frac{25}{0,5} sont des écritures fractionnaires.

 

Si les nombres a et b sont des entiers, l'écriture fractionnaireab\frac{a}{b} s'appelle une fraction.

Exemple : 1516\frac{15}{16} est une fraction. On lit « 15 sur 6 » ou « quinze sixièmes ».

2) Fractions et nombres décimaux

Certaines fractions sont des nombres décimaux.

Exemple : 182=9\frac{18}{2}=9 car 18 ÷ 2=918~\div~2=9

 

Certaines fractions sont des nombres décimaux.

Exemple : 156=2,5\frac{15}{6}=2,5 car 15 ÷ 6=2,515~\div~6=2,5

 

Attention ! La fraction 176\frac{17}{6} n'est pas un nombre décimal. La division ne s'arrête pas.

On peut donner :

  • la valeur approchée à l'unité par défaut : 1762\frac{17}{6}\approx2 ;
  • la valeur approchée au dixième par défaut : 1762,8\frac{17}{6}\approx2,8 ;
  • l'encadrement à l'unité : 2<176<32\lt\frac{17}{6}\lt3 ;
  • la valeur approchée au centième par excès : 1762,84\frac{17}{6}\approx2,84.
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3) Quotients égaux

On ne change pas le quotient ab\frac{a}{b} (ou la fraction ab\frac{a}{b}), si on multiplie ou si on divise a et b par un même nombre différent de 00.

Exemples : 69=6×49×4=2436\frac{6}{9}=\frac{6\times4}{9\times4}=\frac{24}{36}
1824=18 ÷ 624 ÷ 6=34\frac{18}{24}=\frac{18~\div~6}{24~\div~6}=\frac {3}{4}
On dit que 34\frac{3}{4} est la fraction simplifiée de 1824\frac{18}{24}.

4) Critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

  • par 2 quand son chiffre des unités est 00, 22 ; 44 ; 66 ou 88 ;
  • par 3 quand la somme des chiffres est un multiple de 33 ;
  • par 4 quand le nombre formé par les chiffres des dizaines et des unités est un multiple de 44 ;
  • par 5 quand son chiffre des unités est 00 ou 55 ;
  • par 10 quand son chiffre des unités est 00.

Mot-clé :

Fraction décimale : une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1010, 100100, 1 0001~000, etc.

II) Un peu de méthode

1) Placer un quotient sur une demi-droite graduée

Pour placer 73\dfrac{7}{3} sur une demi-droite graduée :

  1. je choisis une unité pouvant se partager en 3 parties égales sur la demi-droite tracée (par exemple : 3 cm, 6 cm, etc.) et je gradue.
  2. Je compte de 13\dfrac{1}{3} en 13\dfrac{1}{3} jusqu'à 73\dfrac{7}{3} et je place 73\dfrac{7}{3}.
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2) Calculer le quotient de deux nombres décimaux

 

Je transforme leur écriture afin d'obtenir une division par un nombre entier. Pour cela, je multiplie le numérateur et le dénominateur en utilisant la propriété des quotients égaux, puis je pose la division.

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3) Diviser par 0,1 ou par 0,01 ou par 0,001

Quand je divise un nombre par 0,1 ou par 0,01, je multiplie par 10, par 100 ou par 1 000. Donc, je décale la virgule de 1, 2 ou de 3 rangs vers la droite.

Exemples : 13\divide0,1=13013 \divide 0,1 = 130 ou 13×10=13013 \times 10 = 130 ; 3,8\divide0,01=3803,8 \divide 0,01 = 380 ou 3,8×100=3803,8 \times 100 = 380