Le calcul littéral, c'est quoi ?

I. Expressions littérales

En classe de sixième, tu as appris à calculer le périmètre d'un cercle. Tu sais que si le cercle a pour rayon $r$, alors son périmètre $P$ vaut $P=2\times\pi\times r$.

Ainsi, si le rayon vaut 4 cm, son périmètre est
$P=2\times\pi\times 4 \text{ cm} = 8 \times \pi \text{ cm}$

La valeur exacte du périmètre de ce cercle est donc de $8\pi \text{ cm}$ et la valeur arrondie à l'unité en est 25 cm (obtenue en remplaçant $\pi$ par 3,14).

On dit que $P$ est une expression littérale (littéral vient du mot "lettre", ici, l'expression comporte la lettre $r$), et le résultat a été obtenu en remplaçant la lettre $r$ par 4. On dit que $r$ est une variable.

Exemple :
Le périmètre $P$ d'un rectangle de largeur $\ell$ et de longueur $L$ est :
$P = 2 \ell + 2L = 2(\ell + L)$

Calculer l'expression pour $\ell = 4,5 \text{ m et } L = 7,4 \text{ m}$ se fait en remplaçant les deux variables $\ell$ et $L$ par leurs valeurs.
On trouve : $P = 2(4,5 + 7,4) = 2 \times 11,9 = 23,8 \text{ m}$

Définition :

Une expression littérale est un calcul mathématique avec des nombres et des lettres.
Les lettres représentent des nombres que l'on ne connaît pas a priori.

II. Simplifications d'écriture

Le signe $\times$ de la multiplication n'est pas obligatoire s'il n'est pas devant un nombre.

Exemples
Le périmètre du cercle de rayon $r$ s'écrit plus simplement $2 \pi r$
L'expression $3 \times (x+5)$ peut s'écrire $3(x+5)$.

$a\times a = a^2 \text{ et } a\times a\times a =a ^3$
$a^2$ se lit a au carré, et $a ^3$ se lit a au cube.
Le facteur a est utilisé deux fois, et on parle "du carré de a" ; le facteur a est utilisé 3 fois et on parle "du cube de a".

Si dans une multiplication, un facteur est 1, il peut être supprimé : $1 \times a = a$.

III. Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

La multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.
Pour n'importe quels nombres $k$, $a$ et $b$, on a :

$k \times (a+b) = k \times a + k \times b$ ou $k(a+b)=ka+kb$
$k \times (a-b) = k \times a - k \times b$ ou $k(a-b)=ka-kb$

Passer de $k \times (a+b)$ à $ka+kb$ se dit développer l'expression.
Passer de $ka+kb$ à $k \times (a+b)$ se dit factoriser l'expression.

Exemple :

$\checkmark$ $7 \times (x-4)=7 \times x + 7 \times (-4)$

$= 7 \times x - 28=7x-28$

$\checkmark$ $10x^2+40x=(10x)x+(10x) \times 4$

$=10x(x+4)$

$\checkmark$ $6x-6=6 \times x - 6 \times 1 = 6(x-1)$

IV. Réduire une expression littérale

Définition : Réduire une expression, c'est trouver une expression égale avec le moins de termes possible.

On utilise la distributivité pour simplifier l'expression quand cela est possible :
$15x+3x-8x=15 \times x+3 \times x - 8 \times x$

$= (15+3-8) \times x=10 \times x = 10x$

Si l'expression contient des puissances différentes, on fait le regroupement par puissance sans les mélanger.

Exemples :
$A=3x^3-2x^2+x-7-5x^3+5x^2+4x+11$
On regroupe les cubes, les carrés, les $x$ simples et les nombres :
$A=3x^3-5x^3-2x^2+5x^2+x+4x-7+11$
On applique la distributivité :
$=(3-5)x^3+(-2+5)x^2+(1+4)x+(-7+11)$
$A=-2x^3+3x^2+5x+4$

Supprimer une parenthèse précédée du signe +

Ajouter une somme revient à ajouter chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse.
$a+(b+c)=a+b+c$

Exemples :
$\checkmark$ $2x+(3+5x)=2x+3+5x$

$=(2+5)x+3=7x+3$

$\checkmark$ $7x+(-3-5x)=7x+(-3)-5x$

$=(7-5)x-3=2x-3$

Supprimer une parenthèse précédée du signe -

Soustraire une somme revient à soustraire chacun de ses termes : on peut supprimer la parenthèse en changeant le signe de chacun de ses termes.

$a-(b+c)=a-b-c$
$a-(b-c)=a-b+c$

Exemples :
$\checkmark$ $2x-(2x+3y)=2x-2x-3y=-3y$

$\checkmark$ $-3x-(7-5x)=-3x-7+5x$

$=(-3+5)x-7=2x-7$

V. Utiliser une lettre pour résoudre un problème

Exemple :
Un père a 42 ans et son fils a 8 ans. Trouver dans combien d'années l'âge du père sera le double de l'âge de fils. Quel sera alors l'âge du père et celui du fils ?

Appelons $x$ le nombre d'années cherché. L'âge du père sera alors $42+x$ et celui du fils $8+x$. Écrivons maintenant que l'âge du père doit alors être le double de celui du fils. Cela donne : $42+x=2(8+x)$

Résoudre cette équation permettra de répondre à la question posée. La méthode de résolution est détaillée dans la fiche consacrée à la résolution d'équation.
On peut montrer que $x=26$ ce qui signifie que ce serait dans 26 ans que le père aura un âge double de celui de son fils.

VI. Savoir utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général

Exemple d'énoncé :
Montrer que la somme de deux nombres entiers consécutifs est toujours un nombre impair.

Pour comprendre cet exercice, tu dois déjà te demander quels sont les nombres entiers. Ce sont 0,1,2,3,4, etc...
Puis ce que signifie le mot consécutif : cela veut dire que les deux entiers se suivent.

Exemple : 2 et 3 sont deux entiers consécutifs, ou bien 100 et 101 etc. Puis tu te demandes si la phrase que tu as lue te semble vraie.
2 + 3 = 5 et 5 est bien un nombre impair
100 + 101 = 201 et 201 est bien un nombre impair
Mais tu ne vas pas pouvoir prendre une infinité d'exemples..., on va donc maintenant prouver que cela est vrai.

Résolution

Si un nombre s'appelle $n$, le suivant s'obtient en lui ajoutant 1 et s'écrit donc $n+1$.
Leur somme vaut alors $n+(n+1)$. Or :
$n+(n+1)=n+n+1\\n+(n+1)=2n+1$

La somme des deux nombres vaut donc $2n+1$. Mais $2n$ est l'écriture d'un nombre pair (le double de...est un nombre pair), et $2n+1$ est donc l'écriture d'un nombre impair.
Tu as donc montré que la somme de deux entiers consécutifs est toujours un nombre impair.