Intervalle de fluctuation et schéma de Bernoulli

I. Expérience aléatoire répétée

On considère une expérience aléatoire ne comportant que deux issues possibles : succès ; échec

On répète cette expérience $n$ fois dans les mêmes conditions et on suppose que la probabilité d’obtenir un succès est $p$ à chaque répétition.

Ce type de situation s’appelle un schéma de Bernoulli.

On note :

• $n$ : le nombre de répétitions de l’expérience

• $p$ : la probabilité d’obtenir un succès

• $k$ : le nombre de succès observés

La fréquence de succès est alors : $f=\dfrac{k}{n}$

II. Idée d’intervalle de fluctuation

Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience de Bernoulli, le nombre de succès obtenu varie d’une expérience à l’autre.

Même si la probabilité de succès est $p$, on n’obtient pas exactement $np$ succès à chaque fois.

Cependant, la plupart du temps, le nombre de succès observé reste dans une certaine zone.

On appelle intervalle de fluctuation un intervalle dans lequel on s’attend à trouver le nombre de succès dans environ 95 % des expériences.

Autrement dit :

si l’expérience est répétée un très grand nombre de fois, dans environ 95 % des cas, le nombre de succès observé appartiendra à cet intervalle.

III. Exemple concret

On répète $50$ fois une expérience dont la probabilité de succès est : $p=0,3$

On observe le nombre de succès obtenus parmi les $50$ répétitions.

En utilisant un outil de calcul (tableur, calculatrice ou logiciel), on peut déterminer les valeurs les plus probables du nombre de succès.

On obtient qu’avec environ 95 % de chances, le nombre de succès est compris entre : $9$ et $22$.

On dit alors que $[9;22]$ est un intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.

Cela signifie que, dans la grande majorité des expériences, le nombre de succès sera compris entre $9$ et $22$.

IV. Intervalle de fluctuation à gauche

On peut aussi chercher une borne supérieure telle que le nombre de succès ne dépasse presque jamais cette valeur.

Dans l’exemple précédent, on obtient : $[0;20]$

Cela signifie que dans au moins 95 % des expériences, on obtient au plus 20 succès.

Exemple de représentation :

V. Intervalle de fluctuation à droite

On peut également chercher une borne inférieure telle que le nombre de succès est presque toujours supérieur à cette valeur.

Dans l’exemple précédent, on obtient : $[10;50]$

Cela signifie que dans au moins 95 % des expériences, on obtient au moins 10 succès.

Exemple de représentation :

VI. Comparaison des intervalles

Pour l’expérience précédente ($n=50$ et $p=0,3$), on obtient :

intervalle à gauche : $[0;20]$

intervalle à droite : $[10;50]$

intervalle centré : $[9;22]$

L’intervalle centré est celui que l’on utilise le plus souvent, car il donne la zone où se situent la majorité des résultats possibles.

VII. Interprétation statistique

Les intervalles de fluctuation sont utilisés pour comparer une observation à un modèle probabiliste.

Par exemple :

si l’on réalise une expérience 50 fois avec une probabilité de succès supposée égale à $0,3$, on s’attend généralement à obtenir un nombre de succès compris entre : $9$ et $22$.

Si l’on observe une valeur en dehors de cet intervalle, cela peut signifier que :

• l’hypothèse sur la probabilité $p$ est incorrecte

• ou que l’expérience ne correspond pas au modèle choisi.