La variance d’une variable aléatoire mesure sa dispersion autour de son espérance. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et toutes les inégalités de concentration apportent des précisions sur cette dispersion.

I) Inégalité de Markov

Si X est une variable aléatoire à valeurs positives et si $E (X)$ désigne son espérance, alors, pour tout réel $a$ strictement positif :

$P (X \geq a) \leq \frac{E (X)}{a}$

En notant $μ$ l’espérance de X, cette inégalité est parfois écrite sous la forme :

pour tout réel $k > 0$ , $P (X \geq k μ) \leq \frac{1}{k}$ .

On en déduit en particulier que la probabilité que X prenne une valeur supérieure ou égale au double de son espérance est inférieure ou égale à 0,5.

II) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité qu’une variable aléatoire X s’écarte de son espérance d’une quantité supérieure ou égale à une valeur donnée.

Si X est une variable aléatoire d’espérance $μ$ et de variance V, alors, pour tout réel $δ > 0$ :

$P ((X - μ) \geq δ) \leq \frac{V}{δ^{2}}$

On peut aussi l’écrire : pour tout réel $k > 0$ , $P ((X - μ) \geq k \sqrt{V}) \leq \frac{1}{k^{2}}$ .

III) Une inégalité de concentration pour la moyenne

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et $(X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ un échantillon de taille n d’une loi de probabilité d’espérance $μ$ et de variance V.

On note $M_{n}$ la moyenne de cet échantillon, c’est-à-dire $M_{n} = \frac{X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}}{n}$ .

Alors, pour tout réel $δ > 0$ :

$P ((M_{n} - μ) \geq δ) \leq \frac{V}{n δ^{2}}$

À noter
Ce résultat est une conséquence directe de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et d’un résultat vu au chapitre précédent : la variance de $M_{n}$ est $V (M_{n}) = \frac{V}{n}$ .

Méthode

Définir une taille d’échantillon en fonction de la précision et du risque choisis

Pour une certaine variété de pois de senteur, la probabilité d’obtenir une fleur blanche est égale à 0,25, la probabilité d’obtenir une fleur rose ou rouge est 0,75.

Combien faut-il observer de fleurs de cette espèce pour que la fréquence de fleurs blanches soit comprise entre 0,2 et 0,3 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99 ?

Conseils
En appelant n la taille de l’échantillon, c’est-à-dire le nombre de fleurs à observer, introduisez la variable aléatoire égale à la fréquence de fleurs blanches dans un échantillon de taille n et déterminez, en fonction de n, l’espérance et la variance de cette variable aléatoire.
Utilisez ensuite l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Solution

Soit n le nombre de fleurs à observer, $F_{n}$ et $X_{n}$ les variables aléatoires donnant respectivement la fréquence et le nombre de fleurs blanches dans un échantillon de taille n. On a $F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ et $X_{n}$ suit la loi binomiale $B (n; 0,25)$ .

La variance de $X_{n}$ est $V (X_{n}) = n \times 0,25 \times 0,75 = 0,1875 n$ et celle de $F_{n}$ est $V = V (F_{n}) = \frac{V (X_{n})}{n^{2}} = \frac{0,1875}{n}$ .

$0,2 < F_{n} < 0,3$ équivaut à $(F_{n} - 0,25) < 0,05$ .

On cherche donc n tel que $P ((F_{n} - 0,25) < 0,05) \geq 0,99$ .

Cette condition équivaut à $1 - P ((F_{n} - 0,25) \geq 0,05) \geq 0,99$ , soit :

$P ((F_{n} - 0,25) \geq 0,05) \leq 0,01$ (*).

Or l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev dit que, pour tout $δ > 0$ :

Fn−μ ≥δ≤Vδ2, avec $μ = 0,25$ , $V = \frac{0,1875}{n}$ , et $δ = 0,05$ , on a :

Fn−0,25 ≥0,05≤0,1875n0,052.

On cherche n tel que (*) soit vérifiée, il suffit donc que n vérifie $\frac{0,1875}{n {0,05}^{2}} \leq 0,01$ , soit $n \geq \frac{0,1875}{0,01 \times {0,05}^{2}}$ c’est-à-dire $n \geq 7 500$ .

Si on observe au moins 7 500 fleurs, la fréquence de fleurs blanches est comprise entre 0,2 et 0,3 avec une probabilité supérieure ou égale à 0,99.

Remarque : 0,05 est la précision choisie (écart maximal par rapport à l’espérance) et 0,01 est le risque choisi.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev – Inégalité de concentration