Image et antécédent par une fonction affine

I. Déterminer une image par une fonction affine

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=-5x+4$.

Déterminer l'image de 3 par cette fonction affine.

$f(3)=-5\times 3+4=-15+4=-11$.

II. Déterminer un antécédent par une fonction affine

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x)=-5x+4$.

Déterminer l'antécédent de $-8$ par cette fonction affine.

On sait que $f(x)=-8$ . Il suffit de remplacer $f(x)$ par son expression.

On obtient : $-5x+4=-8$

Ceci est une équation d'inconnue $x$ qu'il suffit de résoudre.

Je retranche $4$ aux deux membres : $-5x+4-4=-8-4$

Je simplifie : $-5x=-12$

Je divise les deux membres par $-5$ : $\dfrac{-5x}{-5}=\dfrac{-12}{-5}$

Je simplifie : $x=\dfrac{12}{5}$

Conclusion : Le nombre $-8$ admet un seul antécédent par $f$ qui est $\dfrac{12}{5}$.

III. Déterminer une fonction affine

Soit $g$ une fonction affine telle que $g(0)=-3$ et $g(2)=7$. Déterminer cette fonction affine.

Solution :

Puisque $g$ est une fonction affine, on sait qu'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que :

$g(x)=ax+b$

Écrivons que $g(0)=-3$. Cela donne : $a\times (0)+b=-3$ soit $b=-3$

Écrivons que $g(2)=7$. Cela donne : $a\times 2+b=7$ soit $2a+b=7$

Dans cette dernière égalité, remplaçons $b$ par $-3$. On obtient : $2a-3=7$ soit $2a-3+3=7+3$ ou encore $2a=10$ et $a=5$.

Conclusion : Il existe une seule fonction affine $g$ définie par ces deux couples de valeurs. Il s'agit de la fonction $g$ définie par $g(x)=5x-3$.