Fonction exponentielle de base, fonction logarithme népérien

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Fonction exponentielle de base e

A) Définition et notation

Propriété

Il existe une valeur unique de a pour laquelle la courbe représentative de la fonction xax a, au point d’abscisse 0, une tangente de coefficient directeur égal à 1.

L’étude des fonctions xax figure au paragraphe ➀ du chapitre 2.

Cette valeur de a est notée e, e2,72.

Définition

La fonction xex est la fonction exponentielle de base e, souvent appelée plus simplement fonction exponentielle.

À l’aide d’une calculatrice, découvrez e1,32, e–0,7.

B) Relations fonctionnelles

La fonction xex possède les propriétés des fonctions xax.

Pour tous nombres réels a et b, ea+b = ea × eb ; e–a=1ea et ea–b=eaeb ;

• Pour tout nombre réel a et tout nombre entier relatif n, ean=ena.

C) Dérivation

Théorème

La fonction exponentielle f : xex est dérivable sur ℝ et a pour fonction dérivée f′: xex.

La fonction exponentielle (de base e) est égale à sa fonction dérivée.

On en déduit la propriété suivante.

Propriété 

Soit a et b des constantes réelles.

La fonction g : xeax+b est dérivable sur et g'(x)=a eax+b pour tout x réel.

Exemples

• Soit f la fonction définie sur par : fx=e12x+1. Pour tout x de , fx=12 e12x+1.

• Soit f la fonction définie sur par : ft=t+3et.

Pour tout t de . :

ft=1et+t+3et,

ft=1t+3 et=1+t3 et=t4 et

Un résultat de première : uv=uv+uv.

D) Limites en et en +

Limite en + ∞

En remplissant un tableau de valeurs à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, on constate que ex augmente très vite quand x augmente (par exemple : e10 ≈ 22 026,5).

On démontre, et nous l’admettons, que 10n étant choisi aussi grand que l’on veut, ex est supérieur à 10n dès que x est assez grand. Cette propriété s’énonce :

« la limite de ex quand x tend vers + est égale à +∞. »

Notation 

limx+ex=+

Limite en  ∞

D’après la relation ex = 1ex, on a e10122 026,5 ≈ 0,000 05. On constate que quand x « tend vers −∞ », ex « tend vers zéro ».

On démontre, et nous l’admettons, que 10n étant choisi aussi proche de 0 que l’on veut, ex est compris entre 0 et 10n dès que le nombre négatif x est assez grand en valeur absolue. Cette propriété s’énonce : « la limite de ex quand x tend vers est égale à 0 ».

Notation

limxex =0.

Limites des fonctions monômes

Un théorème analogue concerne les fonctions monômes.

Théorème 

Pour tout entier naturel non nul n, limx+xn =+. limxxn =+ si n est pair,     si n est impair.

E) Courbe représentative

Tableau de variation et courbe représentative

7965acf4-fa86-4913-85df-fd31122ad09b

Croissance comparée en + ∞

ca891e07-c724-4d62-99c8-3c9ca56bd88e

Pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle ex l’emporte sur toute fonction pussance xn.pour les grandes valeurs de x, l’exponentielle ex l’emporte sur toute fonction puissance xn.

Théorème

Pour tout nombre entier naturel n, limx+ex xn=+ et limx+xnex =0.

Fonction logarithme népérien

A) Définition

Définition

Soit a un nombre réel strictement positif.

Le logarithme népérien de a, noté ln (a) ou plus simplement ln a, est le nombre b tel que eb = a.

Exemples

• e0 = 1, donc ln= 0.

• e1 = e, donc ln e = 1.

À retenir

La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur 0, + par : xy=lnxavec x=ey.

a8b19aea-8ec1-43a3-8ca7-fae1ebedc07b

Exemples

La touche 3a65e4a5-7832-4333-9d46-e5623bb9226c de la calculatrice, ou la fonction LN() d’un tableur permettent d’obtenir la valeur numérique de ln(x) pour tout x > 0 avec une précision suffisante.

Par exemple : ln 2 ≈ 0,693 ; ln 3 ≈ 1,098…

B) Propriétés algébriques

Le logarithme népérien a les mêmes propriétés algébriques que le logarithme décimal.

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, pour tout entier naturel n et pour tout réel :

ln (a × b) = ln a + ln ;  ln 1a = ln a ;  ln ab = log a log;

ln (an) = n ln a ;  ln (a) = 12ln ;  ln (ax) = x ln a .

C) Lien avec le logarithme décimal

Propriété

Pour tout nombre réel strictement positif x, log x = ln xln 10.

D) Variations et courbe représentative

Dérivée

Propriété

La fonction logarithme népérien ln est dérivable sur son intervalle de définition ]0, + ∞[ et ln(x) = 1x.

Limites

Théorème

limx+lnx=+ ;  limx0 lnx= ;  limx+lnxx=0.

Tableau de variation et courbe représentative

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Propriété

La fonction logarithme népérien ln est strictement croissante sur son intervalle de définition ]0, + ∞[.

Conséquences

À retenir

Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : a < b si et seulement si ln a < ln b ;

  a = b si et seulement si ln a = ln b.

Pour tout nombre réel strictement positif a : si 0 < a < 1, alors ln a < 0 ; si a > 1, alors ln a > 0.