Factorisation de polynômes dans C

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Définitions :

$\circ\quad$ Soit $n \in \mathbb{N}$. Un polynôme $P$ de degré $n$ à coefficients réels est une expression s’écrivant sous la forme :
$P(z) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

avec $(a_0, …, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}, \quad a_n \neq 0$

$\circ\quad$ $a$ est une racine de $P$ si et seulement si $P(a) = 0$.

Remarque utile dans les exercices : Puisque tous les coefficients sont réels, si $z_0$ est solution de $P(z)=0$ alors son conjugué $\overline {z_0}$ est également solution de $P(z)=0$.

I. Propriété 1

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $a$ un nombre complexe.

Pour tout nombre complexe $z$, on a : $z^n - a^n = (z - a) Q(z)$
avec $Q$ un polynôme de degré au plus $n - 1$.

Démonstration : Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on considère la propriété :
$P_n : \quad z^n - a^n = (z - a)Q(z)$

$\text{avec } Q \text{ un polynôme de degré au plus } n - 1.$

Initialisation : Pour $n = 1$ :
$z - a = (z - a) \times Q(z)$ avec $Q(z) = 1$.

$Q$ est un polynôme de degré 0. Donc la propriété est vraie pour $n = 1$.

Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Supposons que $P(n)$ est vraie. Montrons que $P(n + 1)$ est vraie, c’est-à-dire :
$z^{n+1} - a^{n+1} = (z - a) \times R(z)$ avec $R$ un polynôme de degré au plus $n$.

$z^{n+1} - a^{n+1} = z \times z^n - a^{n+1}$

$= z \times [a^n + (z - a) \times Q(z)] - a^{n+1}$ avec $Q$ un polynôme de degré au plus $n - 1$.

$= z \times a^n + z(z - a) \times Q(z) - a^{n+1}$

$= a^n (z - a) + z(z - a)Q(z)$

$= (z - a)[a^n + zQ(z)]$

$= (z - a)R(z)$ en posant $R(z) = a^n + zQ(z)$.

$Q$ est un polynôme de degré au plus $n - 1$, donc $R$ est un polynôme de degré au plus $n$.

Donc $P_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : $P_1$ est vraie et $P_n$ est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, $P_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.

Remarque : Soit $n \in \mathbb{N}^*$, alors pour tous complexes $a$ et $b$,

$\scriptsize b^n - a^n = (b - a)(b^{n-1} + a b^{n-2} + a^2 b^{n-3} + \dots + a^{n-2} b + a^{n-1})$.

Soit : $b^n - a^n = (b - a) \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^k b^{n-1-k}$.

II. Propriété 2

Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et $a$ un nombre complexe tel que $P(a) = 0$.

Alors, pour tout nombre complexe $z$, on a : $P(z) = (z - a) Q(z)$
avec $Q$ un polynôme de degré au plus $n - 1$.

Démonstration :

Soit $P$ un polynôme tel que
$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$.

$P(z) = P(z) - P(a)$ car $P(a) = 0$.

$\small P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0$

$\small \phantom{P(z)=}- (a_n a^n + a_{n-1} a^{n-1} + \dots + a_2 a^2 + a_1 a + a_0)$

$P(z) = a_n (z^n - a^n) + a_{n-1} (z^{n-1} - a^{n-1})$

$\phantom{P(z)=} + \dots + a_2 (z^2 - a^2) + a_1 (z - a)$.

D’après la propriété précédente,
$\scriptsize P_n = (z - a) [a_n Q_n (z) + a_{n-1} Q_{n-1} (z) + \dots + a_2 Q_2 (z) + a_1]$.

En posant
$\scriptsize Q(z) = a_n Q_n (z) + a_{n-1} Q_{n-1} (z) + \dots + a_2 Q_2 (z) + a_1$,
on obtient un polynôme $Q$ de degré au plus $n - 1$.

III. Propriétés 3

$\circ\quad$ Un polynôme non nul de degré $n$ admet au plus $n$ racines.

$\circ\quad$ Le nombre de solutions d’une équation polynomiale est inférieur ou égal à son degré.

IV. Un exemple rédigé

Énoncé :

On considère le polynôme de degré 3 suivant :

$P(z) = z^3 +2\text i z^2+2(1+\text i)z-3+6\text i$

$1.$ Montrer que $1 -2\text i$ est une racine de $P(z)$.

$2.$ En déduire un polynôme $Q(z)$ de degré 2 tel que $P(z)=(z-1+2\text i)Q(z)$

Solution :

$1.$ Vérification que $1-2\text i$ est une racine

On calcule $P(1 -2\text i)$ :

$P(1 + 3\text i) = (1 + 3\text i)^3 +6(1 + 3\text i) +20$

Développement de $(1 -2\text i)^2$ :

$(1 -2\text i)^2 = 1 -4\text i + 4\text i^2 = 1 -4\text i - 4 = -3 -4\text i$

Développement de $(1 -2\text i)^3$ :

$(1 -2\text i)^3 = (-3 -4\text i)(1 -2\text i)$
$= -3+6\text i -4\text i + 8\text i^2$
$= -3 - 8 +2\text i$
$= -11 +2\text i$

Calculons $P(1 -2\text i)$ :

$\small P(1 - 2\text i) = -11 +2\text i +2\text i (-3 -4\text i)+2(1+i)(1-2\text i)+6\text i$

$\small P(1 - 2\text i) = 0 + 0i$

Donc $P(1 -2\text i) = 0$, ainsi $1 -2\text i$ est bien une racine.

$2.$ Détermination de $Q(z)$

Le polynôme $P(z)$ peut s'écrire sous la forme :

$P(z)=(z-1+2\text i)(a z^2 + bz + c)$ avec $a\,, b\,, c$ réels.

Développons $(z-1+2\text i)(a z^2 + bz + c)$ :

On applique la distributivité :

$(z - 1 +2\mathcal{i})(a z^2 + bz + c)$
$= (z - 1)(a z^2 + bz + c) +2\mathcal{i}(a z^2 + bz + c)$

Développons chaque terme séparément :

1. Développement de $(z - 1)(a z^2 + bz + c)$

$= z (a z^2 + bz + c) - 1(a z^2 + bz + c)$
$= a z^3 + bz^2 + cz - a z^2 - bz - c$
$= a z^3 + (b - a)z^2 + (c - b)z - c$

2. Développement de $+2\mathcal{i}(a z^2 + bz + c)$

$= +2\mathcal{i} a z^2 +2\mathcal{i} b z +2\mathcal{i} c$

On obtient :

$\forall z\in\mathbb C\;, z^3 +2\text i z^2+2(1+\text i)z-3+6\text i$

$=a z^3 + (b - a+2\text i a)z^2 + (c - b+2\text i b)z +2\text i c$

On identifie :

$a=1$

$b-a+2\text i a=2\text i$

$c-b+2\text i b=2(1+\text i)$

$-c+2\text i c=-3+6\text i$

Résolvons chaque équation :

$a = 1$ donc on remplace $a = 1$ dans l'équation suivante :

$b - 1 +2\text i = 2\text i$ soit $b=1$

$c - 1 +2\text i = 2+2\text i$ soit $c=3$ 3i

Enfin, on vérifie avec la dernière équation :

$-3+2\text i\times 3=-3+6\text i$ est bien vérifiée, le système est donc compatible.

Au final, on obtient :

$P(z) = (z-1+2\text i)(z^2+z+3).$