Après l’étude des positions relatives de droites et de plans dans l’espace, cette fiche propose d’étudier vectoriellement le cas particulier du parallélisme entre droites et plans de l’espace.

I) Caractérisation vectorielle d’une droite et d’un plan de l’espace

1) Droites de l’espace

Soit A un point et $\vec{u}$ un vecteur non nul.

La droite passant par A et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l’ensemble des points M de l’espace pour lesquels il existe $t \in ℝ$ tel que $\vec{AM} = t \vec{u}$ .

2) Plan de l’espace

Un vecteur $\vec{n}$ non nul de l’espace est un vecteur normal à un plan $P$ lorsqu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $P$ .

Le plan passant par A et de vecteur normal $\vec{n}$ est l’ensemble des points M de l’espace tels que les vecteurs $\vec{AM}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux, c’est-à-dire que $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ .

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II) Étude vectorielle du parallélisme dans l’espace

Parallélisme de deux droites de l’espace

Soit $D$ et Δ des droites ayant pour vecteurs directeurs $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0}$ .

$D / / Δ \Leftrightarrow$ $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ Il existe $α \in ℝ$ tel que $\vec{v} = α \vec{u}$ .

Parallélisme d’une droite et d’un plan de l’espace

Soit $D$ une droite et $P$ un plan de l’espace, $\vec{u} \neq \vec{0}$ un vecteur directeur de $D$ et $\vec{n} \neq \vec{0}$ un vecteur normal à $P$ .

$D$ // $P$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{u} = 0$

Parallélisme de deux plans de l’espace

Soit $P$ et $P$ ′ deux plans de l’espace, $\vec{n} \neq \vec{0}$ un vecteur normal à $P$ et ${\vec{n}}^{'} \neq \vec{0}$ un vecteur normal à $P$ ′.

$P$ // $P$ ′ $\Leftrightarrow \vec{n}$ et ${\vec{n}}^{'}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow$ Il existe $α \in ℝ$ tel que ${\vec{n}}^{'} = α {\vec{n}}^{'}$ .

Méthodes

1) Établir le parallélisme de deux droites de l’espace

i→, j→, k→, on considère :

– une droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u} (2; 1; - 3)$ ;

D′ de vecteur directeur $\vec{v} (- 4; - 2; 6)$ .

Démontrer que les droites $D$ et $D$ ′ sont parallèles.

Conseils
Démontrez que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , vecteurs directeurs respectifs de la droite $D$ et de la droite $D$ ′, sont colinéaires.

Solution

$\vec{u} (2; 1; - 3)$ et $\vec{v} (- 4; - 2; 6)$ , donc $\vec{v} = - 2 \vec{u}$ .

En effet : $- 4 = (- 2) \times 2; - 2 = (- 2) \times 1; 6 = (- 2) \times (- 3)$ .

Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, donc les droites $D$ et $D$ ′ sont parallèles.

2) Établir le parallélisme de deux plans de l’espace

i→, j→, k→, on considère le plan $P$ ₁ d’équation cartésienne $- 2 x + y + z - 6 = 0$ et le plan $P$ ₂ d’équation cartésienne $4 x - 2 y - 2 z + 1 = 0$ .

Démontrer que les plans $P$ ₁ et $P$ ₂ sont parallèles.

Conseils
Étape 1 Dans tous les cas, déterminez un vecteur normal aux plans considérés à partir de leur équation cartésienne.
Étape 2 Démontrez ensuite qu’un vecteur normal à $P$ ₂ est colinéaire à un vecteur normal à $P$ ₁.

Solution

Étape 1 Le plan $P$ ₁ a pour équation cartésienne $- 2 x + y + z - 6 = 0$ , donc ${\vec{n}}_{1} (- 2; 1; 1)$ est un vecteur normal à ce plan.

P₂ a pour équation cartésienne $4 x - 2 y - 2 z + 1 = 0$ , donc ${\vec{n}}_{2} (4; - 2; - 2)$ est un vecteur normal à ce plan.

Étape 2 ${\vec{n}}_{2} = - 2 {\vec{n}}_{1}$ car $4 = (- 2) \times (- 2); - 2 = (- 2) \times 1; - 2 = (- 2) \times 1$ .

Les vecteurs ${\vec{n}}_{1}$ et ${\vec{n}}_{2}$ sont colinéaires, donc les plans $P$ ₁ et $P$ ₂ sont parallèles.