Définition

Une équation différentielle est une équation mathématique qui lie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle exprime une relation entre une fonction et ses dérivées par rapport à une ou plusieurs variables indépendantes.

On connaît la forme des solutions des équations différentielles $y^{'} = a y + f$ , selon la nature de f, ce qui n’est pas le cas pour la plupart des autres équations.

I) Équation différentielle $y^{'} = a y$ , a réel

Les solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle $y^{'} = a y$ sont les fonctions de la forme :

$x \mapsto C e^{a x},$ où C est une constante réelle

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II) Équation différentielle $y^{'} = a y + b$ , a réel non nul, b réel

Les solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle $y^{'} = a y + b$ sont les fonctions de la forme :

À noter
Lorsque $b = 0,$ on retrouve le cas précédent.
$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a},$ où C est une constante réelle

III) Équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , a réel non nul, f fonction continue

Si l’on connaît une solution particulière $y_{0}$ sur un intervalle I de l’équation différentielle $y^{'} = a y + f$ , alors toutes les autres solutions sont de la forme :

À noter
Lorsque f est une fonction constante, on retrouve le cas précédent.
$x \mapsto C e^{a x} + y_{0}$ où C est une constante réelle

Méthode

Résoudre une équation différentielle de la forme $y^{'} = a y + b$

On considère l’équation différentielle $(E) : 2 y^{'} + y = 0 .$

1. Déterminer les solutions de $(E)$ sur $ℝ .$

2. Déterminer la (ou les) solution(s) éventuelle(s) de $(E)$ vérifiant la condition précisée dans chacun des cas suivants :

a. $f (1) = 1$

b. $f (2) = {(f (1))}^{2}$

c. $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

Conseils
1. On se ramène à la forme $y^{'} = a y + b;$ c’est alors une question de cours.
2. Exprimez la contrainte par une condition sur la constante C de la solution générale.

Solution

1. y solution de $(E) \Leftrightarrow y^{'} = - \frac{1}{2} y .$ Donc $S = (x \mapsto C e^{- \frac{x}{2}}, C \in ℝ)$ .

2. f est solution de $(E)$ donc f est de la forme $f (x) = C e^{- \frac{x}{2}}$ avec $C \in ℝ .$

a. $f (1) = 1 \Leftrightarrow C e^{- \frac{1}{2}} = 1 \Leftrightarrow C = e^{\frac{1}{2}} .$ Donc l’unique fonction f solution de $(E)$ vérifiant $f (1) = 1$ est définie par $f_{0} (x) = e^{\frac{1}{2}} \times e^{- \frac{x}{2}}$ et $S = (f_{0} : x \mapsto e^{\frac{1 - x}{2}})$ .

b. $f(2)=(f(1))^2⇔Ce^{−1}=(Ce^{−\frac{1}{2}})^2$

$⇔Ce^{−1}=C^{2}e^{−1}$

$⇔C=C^2$

$⇔C−C^2=0$

$⇔C(C−1)=0$

$⇔C=0$ ou $C=1$

S=f0 : x↦0 ; f1 : x↦e−x2.

À noter
$e^{- 1} \neq 0,$ on peut donc bien simplifier par $e^{- 1} .$ En revanche, on ne sait rien de C. Il ne faut donc surtout pas « simplifier » par C dans d’égalité $C = C^{2}$ (on remarque d’ailleurs que $C = 0$ donne une solution).

c. On sait que $\lim_{x \to + \infty} e^{- \frac{x}{2}} = 0 .$ Donc quel que soit C, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 .$ Il n’y a donc pas de solution vérifiant la condition $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty .$

Équation différentielle y' = ay + f

Définition

I) Équation différentielle y′=ay, a réel

II) Équation différentielle y′=ay+b, a réel non nul, b réel

III) Équation différentielle y′=ay+f, a réel non nul, f fonction continue