👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

I. Définition / Théorème de la division euclidienne

Soit $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul.
On appelle division euclidienne de $a$ par $b$ l’opération qui, au couple $(a, b)$ , associe l’unique couple d’entiers relatifs $(q, r)$ tel que :
$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$
$a$ est le dividende, $b$ est le diviseur, $q$ est le quotient, $r$ est le reste.

Démonstration

1. Montrons l’existence du couple $(q, r)$ pour $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ .

Pour $a \geq 0$ :

Soit $E$ l’ensemble des entiers $e$ tels que $be \gt a$ .

$E$ n’est pas vide, car :

$b \geq 1 \Rightarrow b(a + 1) \geq a + 1$

$\phantom{ b \geq 1}\Rightarrow b(a + 1) \gt a$

$\phantom{ b \geq 1}\Rightarrow a + 1 \in E$ .

$E$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ , donc $E$ admet un plus petit élément $m$ tel que :

$bm \gt a$ et $b(m - 1) \leq a$ .

On pose alors $q = m - 1$ , d'où :

$bq \leq a \lt b(q + 1) \Rightarrow 0 \leq a - bq \lt b$ .

En posant $r = a - bq$ , on obtient bien :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ .

Il existe donc un couple $(q, r)$ tel que :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

Pour $a \lt 0$ :

On pose $a' = a(1 - b)$ .

$b \geq 1 \Rightarrow -b \leq -1 \Rightarrow 1 - b \leq 0$ .

On a alors $a(1 - b) \geq 0$ , soit $a' \geq 0$ .

On peut alors utiliser le cas $a \geq 0$ avec $a'$ et $b$ .

Il existe un couple $(q', r)$ tel que :

$a' = bq' + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

En revenant à $a$ , on a alors :

$a(1 - b) = bq' + r \Rightarrow q - ab = bq' + r$

$\phantom{ a(1 - b) = bq' + r }\Rightarrow a = b(q' + a) + r$ .

En posant $q = q' + a$ , on obtient alors :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

2. Montrons l’unicité du couple $(q, r)$ .

On suppose qu’il existe deux couples $(q, r)$ et $(q', r')$ tels que :

$a = bq + r = bq' + r'$ avec $0 \leq r < b$ et $0 \leq r' \lt b$ .

$bq + r = bq' + r' \Rightarrow b(q - q') = r' - r$ .

Or, $-b \lt r' - r \lt b$ .

$b$ divise alors $(r' - r)$ , qui est compris strictement entre $-b$ et $b$ , donc $r' - r = 0$ , d’où $r = r'$ .

Cela entraîne alors $q' = q$ .

Le couple $(q, r)$ est unique.

Remarque

La condition $0 \leq r \lt b$ assure l’unicité du couple $(q, r)$ .

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$
Sachant que $38 367 = 152 \times 251 + 215$ , effectuer, sans calculatrice et sans poser l’opération, la division euclidienne de $38 367$
a) par $251$
b) par $152$

Solution :

a) $0 \lt 215 \lt 251$ , donc dans la division euclidienne de $38 367$ par $251$ , le quotient est $152$ et le reste $215$ .

b) $215 = 152 + 63$ , donc
$38 367 = 152 \times 251 + 152 + 63$
$= 152 \times 252 + 63$

Or $0 \lt 63 \lt 152$ , donc dans la division euclidienne de $38 367$ par $152$ , le quotient est $252$ et le reste $63$ .

2) Déterminer le reste d’une division
$n$ désigne un entier naturel non nul.
Quel est le reste dans la division euclidienne :
a) de $(n+2)^2$ par $(n+4)$ ?
b) de $2n^2 + n$ par $(n+1)$ ?

Solution :

a) $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 = (n+4)n + 4$
avec $0 \lt 4 \lt n+4$ (car $n \gt 0$ ).
Donc cette division a pour reste 4.

b) $2n^2 + n = 2n^2 + 2n - n - 1 + 1$
$\phantom{2n²+n}= (n+1)(2n - 1) + 1$
Le reste est donc 1.

3) Utiliser les restes d’une division
$n$ désigne un entier relatif et $A = n(n^2 +5)$ .
Démontrer que l’entier $A$ est divisible par 3.

Solution :

Les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 3 sont $0$ , $1$ et $2$ .
Donc $n$ s’écrit sous l’une des formes suivantes :

$n = 3k$ ; $n = 3k +1$ ; $n = 3k +2$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

1er cas : $n = 3k$
Alors $n^2 +5 = (3k)^2 + 5 = 9k^2 + 5$ .
$3$ divise $9k^2$ , donc $3$ divise $n(n^2 + 5)$ .

2ᵉ cas : $n = 3k +1$
Alors :
$n^2 +5 = (3k +1)^2 + 5$

$\phantom{n^2+5}= 9k^2 + 6k + 6$

$\phantom{n^2+5}= 3(3k^2 + 2k + 2)$

Or, $3k^2 + 2k + 2$ est un entier relatif, donc $3$ divise $n^2 +5$ , et donc $3$ divise $n(n^2 +5)$ .

3ᵉ cas : $n = 3k +2$
Alors :
$n^2 +5 = (3k +2)^2 + 5 = 9k^2 + 12k + 9 = 3(3k^2 + 4k + 3)$
Or, $3k^2 + 4k + 3$ est un entier relatif, donc $3$ divise $n^2 +5$ , et donc $3$ divise $n(n^2 +5)$ .

Conclusion :

Les trois cas ci-dessus permettent de conclure que, pour tout entier relatif $n$ , $A$ est divisible par 3.

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I. Définition / Théorème de la division euclidienne

Soit $a$ un entier relatif et $b$ un entier naturel non nul.
On appelle division euclidienne de $a$ par $b$ l’opération qui, au couple $(a, b)$ , associe l’unique couple d’entiers relatifs $(q, r)$ tel que :
$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$
$a$ est le dividende, $b$ est le diviseur, $q$ est le quotient, $r$ est le reste.

Démonstration

1. Montrons l’existence du couple $(q, r)$ pour $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ .

Pour $a \geq 0$ :

Soit $E$ l’ensemble des entiers $e$ tels que $be \gt a$ .

$E$ n’est pas vide, car :

$b \geq 1 \Rightarrow b(a + 1) \geq a + 1$

$\phantom{ b \geq 1}\Rightarrow b(a + 1) \gt a$

$\phantom{ b \geq 1}\Rightarrow a + 1 \in E$ .

$E$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ , donc $E$ admet un plus petit élément $m$ tel que :

$bm \gt a$ et $b(m - 1) \leq a$ .

On pose alors $q = m - 1$ , d'où :

$bq \leq a \lt b(q + 1) \Rightarrow 0 \leq a - bq \lt b$ .

En posant $r = a - bq$ , on obtient bien :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r < b$ .

Il existe donc un couple $(q, r)$ tel que :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

Pour $a \lt 0$ :

On pose $a' = a(1 - b)$ .

$b \geq 1 \Rightarrow -b \leq -1 \Rightarrow 1 - b \leq 0$ .

On a alors $a(1 - b) \geq 0$ , soit $a' \geq 0$ .

On peut alors utiliser le cas $a \geq 0$ avec $a'$ et $b$ .

Il existe un couple $(q', r)$ tel que :

$a' = bq' + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

En revenant à $a$ , on a alors :

$a(1 - b) = bq' + r \Rightarrow q - ab = bq' + r$

$\phantom{ a(1 - b) = bq' + r }\Rightarrow a = b(q' + a) + r$ .

En posant $q = q' + a$ , on obtient alors :

$a = bq + r$ avec $0 \leq r \lt b$ .

2. Montrons l’unicité du couple $(q, r)$ .

On suppose qu’il existe deux couples $(q, r)$ et $(q', r')$ tels que :

$a = bq + r = bq' + r'$ avec $0 \leq r < b$ et $0 \leq r' \lt b$ .

$bq + r = bq' + r' \Rightarrow b(q - q') = r' - r$ .

Or, $-b \lt r' - r \lt b$ .

$b$ divise alors $(r' - r)$ , qui est compris strictement entre $-b$ et $b$ , donc $r' - r = 0$ , d’où $r = r'$ .

Cela entraîne alors $q' = q$ .

Le couple $(q, r)$ est unique.

Remarque

La condition $0 \leq r \lt b$ assure l’unicité du couple $(q, r)$ .

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$
Sachant que $38 367 = 152 \times 251 + 215$ , effectuer, sans calculatrice et sans poser l’opération, la division euclidienne de $38 367$
a) par $251$
b) par $152$

Solution :

a) $0 \lt 215 \lt 251$ , donc dans la division euclidienne de $38 367$ par $251$ , le quotient est $152$ et le reste $215$ .

b) $215 = 152 + 63$ , donc
$38 367 = 152 \times 251 + 152 + 63$
$= 152 \times 252 + 63$

Or $0 \lt 63 \lt 152$ , donc dans la division euclidienne de $38 367$ par $152$ , le quotient est $252$ et le reste $63$ .

2) Déterminer le reste d’une division
$n$ désigne un entier naturel non nul.
Quel est le reste dans la division euclidienne :
a) de $(n+2)^2$ par $(n+4)$ ?
b) de $2n^2 + n$ par $(n+1)$ ?

Solution :

a) $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 = (n+4)n + 4$
avec $0 \lt 4 \lt n+4$ (car $n \gt 0$ ).
Donc cette division a pour reste 4.

b) $2n^2 + n = 2n^2 + 2n - n - 1 + 1$
$\phantom{2n²+n}= (n+1)(2n - 1) + 1$
Le reste est donc 1.

3) Utiliser les restes d’une division
$n$ désigne un entier relatif et $A = n(n^2 +5)$ .
Démontrer que l’entier $A$ est divisible par 3.

Solution :

Les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 3 sont $0$ , $1$ et $2$ .
Donc $n$ s’écrit sous l’une des formes suivantes :

$n = 3k$ ; $n = 3k +1$ ; $n = 3k +2$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

1er cas : $n = 3k$
Alors $n^2 +5 = (3k)^2 + 5 = 9k^2 + 5$ .
$3$ divise $9k^2$ , donc $3$ divise $n(n^2 + 5)$ .

2ᵉ cas : $n = 3k +1$
Alors :
$n^2 +5 = (3k +1)^2 + 5$

$\phantom{n^2+5}= 9k^2 + 6k + 6$

$\phantom{n^2+5}= 3(3k^2 + 2k + 2)$

Or, $3k^2 + 2k + 2$ est un entier relatif, donc $3$ divise $n^2 +5$ , et donc $3$ divise $n(n^2 +5)$ .

3ᵉ cas : $n = 3k +2$
Alors :
$n^2 +5 = (3k +2)^2 + 5 = 9k^2 + 12k + 9 = 3(3k^2 + 4k + 3)$
Or, $3k^2 + 4k + 3$ est un entier relatif, donc $3$ divise $n^2 +5$ , et donc $3$ divise $n(n^2 +5)$ .

Conclusion :

Les trois cas ci-dessus permettent de conclure que, pour tout entier relatif $n$ , $A$ est divisible par 3.

Division euclidienne dans Z

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I. Définition / Théorème de la division euclidienne

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$

Solution :

2) Déterminer le reste d’une division

Solution :

3) Utiliser les restes d’une division

Solution :

Conclusion :

Division euclidienne dans Z

👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

I. Définition / Théorème de la division euclidienne

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$

Solution :

2) Déterminer le reste d’une division

Solution :

3) Utiliser les restes d’une division

Solution :

Conclusion :

Division euclidienne dans Z

👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

I. Définition / Théorème de la division euclidienne

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type a=bk+ma = bk + ma=bk+m

Solution :

2) Déterminer le reste d’une division

Solution :

3) Utiliser les restes d’une division

Solution :

Conclusion :

Division euclidienne dans Z

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I. Définition / Théorème de la division euclidienne

II. Des exemples rédigés et des méthodes

1) Savoir utiliser une égalité du type a=bk+ma = bk + ma=bk+m

Solution :

2) Déterminer le reste d’une division

Solution :

3) Utiliser les restes d’une division

Solution :

Conclusion :

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$

1) Savoir utiliser une égalité du type $a = bk + m$