Dérivée de la composée de deux fonctions

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Écrire une fonction comme composée de fonctions usuelles permet de simplifier certains calculs, notamment celui des dérivées.

I) Composée de deux fonctions

Définition : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, uxJ. On appelle composée de u suivie de v la fonction notée vu et définie par : pour tout x de I, vux=vux.

vu se lit « v rond u ».

Remarque : Cette définition peut être mémorisée à l’aide du schéma suivant :

f5e1f863-cac6-45a5-b14f-377ac1643636

À noter

Dans la notation vu, il est important de noter que c’est la fonction u qui opère en premier, ce qui justifie l’appellation « u suivie de v ».

Exemple : Soient u et v les fonctions définies sur par ux=x2+1 et vx=2x4. La fonction vu est définie sur par

vux=vx2+1=2x2+14, soit vux=2x22.

II) Dérivée d’une composée de deux fonctions

Théorème : Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I et J telles que, pour tout x de I, ux est dans J.

Soient x0 un élément de I et y0=ux0 un élément de J.

Si la fonction u est dérivable en x0 et si v est dérivable en y0=ux0, alors la fonction vu est dérivable en x0 et vux0=vux0×ux0.

À noter

vu est dérivable sur I si vu est dérivable en tout point de I.

Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x)=(2x+1)5.

f est la composée de u suivie de v avec u(x)=2x+1 et v(x)=x5.

On a donc f=vu.

u et v sont dérivables sur et, pour tout x réel, vx=5x4 et u(x)=2.

f est donc dérivable sur et on a :

fx=vux=vux×ux=52x+14×2=102x+14.

Méthodes

1) Déterminer une composée de fonctions

Soient u et v les fonctions définies par v:xx et u:xx24.

Conseils

Commencez par déterminer l’ensemble de définition de la composée, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles cette composée est définie. Déterminez ensuite l’expression de cette composée.

Solution

La fonction vu est définie si, pour tout x de l’ensemble de définition de u, u(x) est bien dans l’ensemble de définition de v. Ici, u(x) est définie sur car c’est un polynôme du second degré. v(x) est définie sur 0;+ Donc (vu)(x) est définie si et seulement si u(x) appartient à 0;+.

Nous sommes donc amenés à résoudre l’inéquation ux0.

;2  2;+.

Pour tout x de D, on a vu x=vux=ux=x24.

uv(x) est définie si x appartient à + et si vx appartient à l’ensemble de définition de u, soit . Ainsi uv est définie sur +. On a alors uvx=uvx=vx24=x24=x4.

On s’aperçoit que vuuv.

À noter

La composée de fonctions n’est pas commutative, c’est-à-dire, en général, vuuv.

2) Déterminer la dérivée d’une composée

Déterminer la dérivée de la fonction f définie par f:xx23x+5.

Conseils

Écrivez f sous la forme f=vu. Cherchez ensuite l’ensemble Df sur lequel f est dérivable et appliquez la formule donnant la dérivée de vu.

Solution

fx est définie si et seulement si x23x+50. Le discriminant Δ de x23x+5 est Δ=11. Δ<0 donc x23x+5 est strictement positif, f est donc dérivable sur .

On a f=vu avec ux=x23x+5 et vx=x.

Pour tout x réel, fx=vux×ux. Ici, ux=2x3 et

vx=12x, d’où fx=12ux ×ux=12x23x+5×2x3.