Dérivation

Approche graphique du nombre dérivé

A) Sécante et tangente

Sécante à une courbe en un point

La courbe 𝒞 est la représentation graphique d’une fonction f. A est un point fixe d’abscisse a et d’ordonnée $f\left(a\right)$.

On considère le point M de la courbe 𝒞 d’abscisse a + h et d’ordonnée f(a + h).

La droite (AM) est sécante à la courbe 𝒞.

Le taux d’accroissement de la fonction f entre les valeurs a et a + h est : $\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$.

Le taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f\left(a\right)}{h}$ est le coefficient directeur de la sécante (AM).

À savoir

Le taux d’accroissement d’une fonction f entre les valeurs distinctes $x_1$ et $x_2$ est : $\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$.

Le coefficient directeur de la droite (AB) qui passe par les points $\text{A}(x_{\text{A}},y_{\text{A}})$ et $\text{B}(x_{\text{B}},y_{\text{B}})$ est : $m=\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}$.

Tangente à une courbe en un point

On imagine que le point M se déplace sur la courbe 𝒞. En se rapprochant de A. L’abscisse a + h de M se rapproche de l’abscisse a de A, c’est-à-dire que h se rapproche de 0. Lorsque h tend vers 0, les sécantes (AM) tendent vers une position limite représentée par la droite (AT) sur la figure, appelée tangente à la courbe au point A.

B) Nombre dérivé en un point

DÉFINITION

Soit f une fonction définie sur un intervalle et soit a un nombre fixé de cet intervalle.

Le nombre dérivé de la fonction f en a, noté $\text{f′}\text{(}\text{a}\text{)}$, est, si elle existe, la limite finie quand h tend vers 0 du taux de variation $\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$ de la fonction f au point a.

Si $\text{f′}\text{(}\text{a}\text{)}$existe, la fonction f est dérivable en a.

Fonction dérivée

A) Définition

DÉFINITION

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

La fonction dérivée de f est la fonction qui à tout x de I associe le nombre dérivé $f^{\prime }\left(x\right)$ de f en x.

$f^{\prime }:x\to f^{\prime }\left(x\right)$

B) Opérations sur les fonctions dérivables

Dans ce qui suit, f et g sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. k est une constante réelle quelconque.

${\left(f+g\right)}^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)$    ${\left(kf\right)}^{\prime }\left(x\right)=k{f}^{\prime }\left(x\right)$

C) Dérivée d’un polynôme de degré inférieur ou égal à 3

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

EXEMPLE

• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ pour : $f\left(x\right)=3x+2$.

Pour tout x de $ℝ$, $f^{\prime }\left(x\right)=3$.

• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ pour : $f\left(x\right)=-3x^2+4x-1$.

Pour tout x de $ℝ$, $f^{\prime }\left(x\right)=2(-3)x+4=-6x+4$.

• Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-2x^3-6x^2+3x+4$.

Pour tout x de $ℝ$, $f^{\prime }\left(x\right)=3(-2)x^2+2(-6)x+3=-6x^2-12x+3$.

Construction et équation réduite d'une tangente

A) Tracer une droite donnée par un point et son coefficient directeur (rappel)

Coefficient directeur

Soit 𝔇 la droite d’équation $y=mx+p$ dans un repère $\left(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$, m est le coefficient directeur de 𝔇 et p est l’ordonnée à l’origine de 𝔇.

Expression du coefficient directeur m d’une droite passant par deux points donnés.

Soit ${\text{M}}_1\left(x_1,y_1\right)$ et ${\text{M}}_2\left(x_2,y_2\right)$ deux points de 𝔇 d’abscisses différentes : alors $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Une méthode pour construire une droite passant par un point donné A et dont le coefficient directeur m est donné. À partir du point $\text{A}\left(x_{\text{A}},y_{\text{A}}\right)$ de la droite 𝔇, d’équation $y=mx+p$, on obtient un deuxième point B de la droite 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse A et m à l’ordonnée de A : $x_{\text{B}}=x_{\text{A}}+1$ et $y_{\text{B}}=y_{\text{A}}+m$.

B Construire la tangente à une courbe en un point

On remplace dans la méthode du A m par $f^{\prime }\left(a\right)$ le coefficient directeur de la tangente.

À partir du point donné $\text{A}\left(x_{\text{A}},y_{\text{A}}\right)$ où $y_{\text{A}}=f\left(x_{\text{A}}\right)$, on obtient un deuxième point B de la tangente 𝔇 en ajoutant 1 à l’abscisse de A et $f^{\prime }\left(x_{\text{A}}\right)$ à l’ordonnée de A : $x_{\text{B}}=x_{\text{A}}+1$ et $y_{\text{B}}=y_{\text{A}}+f^{\prime }\left(x_{\text{A}}\right)$.

C) Équation de la tangente en un point à la courbe représentative de f

Équation de la tangente à la courbe représentative d’une fonction au point d’abscisse a

y = f′(a)(x – a) + f(a).

EXEMPLE

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x² – x – 1.

On se propose de déterminer une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d’abscisse a = 1. Une équation de la tangente est donc : y = f′(1) (x – 1) + f(1).

f(1) = 2 – 1 – 1 = 0.

Pour calculer f′(1) il faut d’abord déterminer f′(x).

Pour tout x de ℝ, f′(x) = 2(2x) – 1, f′(x) = 4x – 1. D’où f′(1) = 3.

L’équation de la tangente est donc : y = 3(x – 1) + 0 ; y = 3x – 3.

Sens de variation d'une fonction

Le signe de la dérivée comme conséquence du sens de variation de la fonction

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si f est croissante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ pour tout x de I.

• Si f est décroissante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ pour tout x de I.

• Si f est constante sur I, alors $f^{\prime }\left(x\right)=0$ pour tout x de I.

Le sens de variation d’une fonction comme conséquence du signe de la dérivée

THÉORÈME

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)>0$ pour tout x de I, alors f est strictement croissante sur I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)<0$ pour tout x de I, alors f est strictement décroissante sur I.

• Si $f^{\prime }\left(x\right)=0$ pour tout x de I, alors f est constante sur I.

EXEMPLE

On considère la fonction f définie sur [–2, 3] par :

f(x) = x³ – 3x² + 1.

• Pour tout x appartenant à [0, 3], f′(x) = 3x² – 3(2x) + 0, f′(x) = 3x² – 6x, f′(x) = 3x(x – 2).

• Les solutions de l’équation f′(x) = 0 sont 0 et 2. x – 2 ≥ 0 équivaut à x ≥ 2.

Lorsque x varie dans [0, 3], le signe de f′(x) = 3x(x – 2) est donné par le tableau :

On peut alors remplir le tableau de variation suivant :

Minimums et maximums

La lecture du tableau de variation ou l’observation de la représentation graphique d’une fonction f permet de déterminer ses éventuels extremums (minimum m et maximum M) sur son intervalle de définition I. Si m et M existent, alors, pour tout x de l’intervalle I, on a : $m\le f\left(x\right)\le \text{M}$.

Théorème

Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum (ou un minimum) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’ (a) = 0.