Étudier la limite d’une suite permet d’avoir une idée de son comportement en l’infini. Pour trouver la limite (si elle existe) d’une suite, une méthode consiste à la comparer aux comportements de suites que l’on connait.

I) Suites de limites finie et infinie

1) Limite infinie

Soient A et B des réels.

On dit qu’une suite u admet pour limite $+ \infty$ si tout intervalle de la forme $(A; + \infty)$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ et on dit que la suite diverge vers $+ \infty$ .

On dit qu’une suite u admet pour limite $- \infty$ si tout intervalle de la forme $(- \infty; B)$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ et on dit que la suite diverge vers −∞.

À noter
La suite de terme général $u_{n}$ admet pour limite $- \infty$ si et seulement si la suite de terme général $- u_{n}$ admet pour limite $+ \infty$ .

2) Limite finie

Soit $l$ un réel.

On dit qu’une suite u admet pour limite $l$ si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

On note $lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ et on dit que la suite converge vers $l$ .

II) Comparaison et encadrement

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel et soient $(u_{n})$ et $(r_{n})$ des suites réelles.

Si pour tout entier $n \geq N$ , $u_{n} \geq r_{n}$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = + \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

Si pour tout entier $n \geq N$ , $u_{n} \leq r_{n}$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = - \infty$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Théorème d’encadrement (dit « théorème des gendarmes »)

Soient $l$ un réel, $N$ un entier naturel, et $(u_{n})$ , $(r_{n})$ et $(s_{n})$ des suites réelles.

Si pour tout entier $n \geq N$ , $s_{n} \leq u_{n} \leq r_{n}$ et si $\lim_{n \to + \infty} s_{n} = l$ et $\lim_{n \to + \infty} r_{n} = l$ , alors $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = l$ .

À noter
Pour démontrer qu’une suite diverge vers $+ \infty$ ou $- \infty$ , il est inutile d’encadrer les termes de la suite car un théorème de comparaison suffit.

Méthodes

1) Déterminer la limite d’une suite par comparaison

Déterminer la limite de la suite de terme général $u_{n} = n + {(- 1)}^{n}$ .

Conseils
Pensez à encadrer ${(- 1)}^{n}$ pour déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Solution

Pour tout entier naturel n, $- 1 \leq {(- 1)}^{n} \leq 1$ . Donc $n - 1 \leq u_{n}$ .

Or $lim_{n \to + \infty} (n - 1) = + \infty$ donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .

2) Déterminer la limite d’une suite par encadrement

Déterminer la limite des suites de termes généraux $u_{n}$ et $s_{n}$ , avec $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} - n}{n}$ et $s_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{n^{2} + n}$ .

Conseils
Encadrez le numérateur de $u_{n}$ . Pour $s_{n}$ , remarquez que chacun des $n + 1$ termes de la somme est compris entre $\frac{1}{n^{2} + n}$ et $\frac{1}{n^{2}}$ .

Solution

Pour tout entier naturel n, on a $- 1 \leq {(- 1)}^{n} \leq 1$ .

Donc $- 1 - n \leq {(- 1)}^{n} - n \leq 1 - n$ , puis $\frac{- 1 - n}{n} \leq u_{n} \leq \frac{1 - n}{n}$ .

On a $\frac{- 1 - n}{n} = - \frac{1}{n} - 1$ et $\frac{1 - n}{n} = \frac{1}{n} - 1$ .

Donc $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = - 1$ .

Pour tout entier naturel n non nul,

$\frac{1}{n^2+n}+\frac{1}{n^2+n}+…+\frac{1}{n^2+n}$

$≤\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2+1}+…+\frac{1}{n^2+n}$

$≤\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^2}+…+\frac{1}{n^2}$

Or $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = 0$ .

Définitions, comparaison et encadrement

I) Suites de limites finie et infinie

1) Limite infinie

2) Limite finie

II) Comparaison et encadrement

Méthodes

1) Déterminer la limite d’une suite par comparaison

Solution

2) Déterminer la limite d’une suite par encadrement

Solution