La fonction logarithme népérien : définition et propriétés analytiques

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en Première.

I) Définition et notations

Définition : La fonction exponentielle vue en Première, notée exp, est l’unique fonction dérivable sur $\text{ℝ}$ de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0.

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction définie sur $\left(\mathrm{]0};+\text{}\infty \text{[\hspace{0.05em}}\right)$ par :

$\text{pour tout }x\in \left]0;+\text{}\infty \right[,\ln x=y\iff x={\text{e}}^y$

Conséquences :

Pour tout réel x strictement positif, $e^{\ln x}=x$.

Pour tout réel y, $\ln \left(e^y\right)=y$.

On a en particulier $\ln 1=0$ et $\ln e=1$.

II) Propriétés analytiques

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]$\left(0;+\text{}\mathrm{\infty [}\right)$, et $\text{pour tout }x\in \left(\text{]\hspace{0.05em}}0;+\text{}\text{}\infty \right)$[ :

$l{n}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x}$

La fonction ln est strictement croissante sur $\left(\mathrm{]0};+\text{}\mathrm{\infty [}\right)$.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$.

À noter

Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction $\ln u$ est dérivable sur I et ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$.

III) Tableau de variations et courbe

À noter

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x.$

Conseils

Étape 1 Déterminez l’ensemble de définition de f.

Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.

Solution

Étape 1 La fonction logarithme népérien est définie sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$. Or, pour tout réel x, $e^{-x}>0$ donc $1+e^{-x}>0$. Donc f est définie sur $\text{ℝ}$.

Étape 2 Comme composée de fonctions dérivables, f est dérivable sur $\text{ℝ}$ ().

e−x, pour tout réel x. Or ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$, avec $u^{\prime }\left(x\right)=-e^{-x}$.

e−x1+e−x.

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d’où $\frac{{\text{e}}^{-x}}{1+{\text{e}}^{-x}}>0$ et $f^{\prime }\left(x\right)<0$ pour tout réel x. Donc f est strictement décroissante sur $\text{ℝ}$.

Étape 4 On sait que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left({\text{e}}^{-x}\right)=+\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+e^{-x}\right)=+\infty$.

On sait que $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left({\text{e}}^{-x}\right)=0$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+e^{-x}\right)=1$. Or $\underset{X\to 1}{\lim }\ln X=\ln 1=0$, donc, par composition, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

Étape 5