Définition de l’intégrale

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L’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle I est l’aire de la surface comprise entre sa courbe et l’axe des abscisses.

I) Intégrale d’une fonction continue positive

Le plan est rapporté à un repère orthogonal O;i;j.

Soient I et J des points du plan tels que OI=i,OJ=j. On appelle unité d’aire (notée u.a.) l’aire du rectangle de longueur OI et de largeur OJ.

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Définition : Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b], ab. On note C la courbe représentative de f dans le repère O;i;j.

L’intégrale de f sur a;b est l’aire, exprimée en u.a., du domaine délimité par C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b. On la note abftdt. a et b s’appellent les bornes de l’intégrale.

Théorème fondamental : Si f est une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b], la fonction Fa définie sur [a ; b] par Fa(x)=axf(t)dt est la primitive de f qui s’annule en a.

Conséquence : Si F est une primitive de f sur [a ; b], on a abf(t)dt=F(b)F(a) que l’on note [F(t)]ab.

II) Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I. Pour tous a, b de I, on définit abf(t)dt par :

abf(t)dt=[F(t)]ab=F(b)F(a)

Remarque : Si f est continue négative sur [a ; b], alors l’intégrale de f sur [a ; b] est l’opposé de l’aire du domaine défini par abftdt.

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b], a ⩽ b. On appelle valeur moyenne de f sur [a ; b] le réel :

μ=1baabf(t)dt

Méthode

Calculer l’aire d’un domaine limité par deux courbes

On considère les fonctions f et g définies sur 0;+ par f(x)=x2+lnxx et g(x)=x2.

On note C et C′ leurs courbes respectives dans un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

Calculer l’aire en cm2, du domaine D du plan limité par les courbes C, C′ et les droites d’équation x=1e et x=2.

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Conseils

Étape 1 Cherchez le signe de la fonction fg sur l’intervalle 1e;2.

Étape 2 Découpez 1e;2 en intervalles sur lesquels le signe de fg est constant. L’aire de chacun des domaines ainsi délimités est égale à l’intégrale de fg si fg est positive, et à l’opposé de l’intégrale de fg si fg est négative.

L’aire de D (en u.a.) est alors la somme de l’aire de chacun des domaines.

Étape 3 Convertissez le résultat précédent en cm2.

Solution

Étape 1 Pour tout x>0, on a fxgx=lnxx0x1.

Étape 2 On a A=A1+A2=1e1(lntt)dt+12(lntt)dt. Or une primitive de tlntt, fonction de la forme uu avec u(t)=lnt, est t12lnt2.

Donc A=[12(ln t)2]1e1+[12(ln t)2]12A=−[\frac{1}{2}(\text{ln}~t)^2]^{1}_{\frac{1}{e}}+[\frac{1}{2}(\text{ln}~t)^2]^{2}_{1}

=(12(ln1e)2)+12(ln 2)2=−(−\frac{1}{2}(\text{ln}\frac{1}{e})^2)+\frac{1}{2}(\text{ln}~2)^2

=12+(ln 2)22=\frac{1}{2}+\frac{(\text{ln}~2)^2}{2}u.a.

Étape 3 On a 1 u.a.=1×2 cm2=2 cm2. Donc A=1+ln22cm2.