Décrire un système thermodynamique : exemple du modèle du gaz parfait

Cette fiche présente certaines notions essentielles pour faire le bilan énergétique d'un système : le modèle du gaz parfait.

Le gaz parfait est un modèle simplifié des gaz, provenant de la synthèse des lois empiriques découvertes à partir de 1750, en particulier la loi de Boyle-Mariotte étudiée en classe de première (cf. fiche "Statique des fluides").

I. Hypothèses du modèle

$\bullet\quad$Le modèle des gaz parfaits repose sur les hypothèses suivantes :
$\quad\circ\quad$ Les molécules de gaz sont assimilées à des points matériels : leur volume est négligeable devant le volume occupé par le gaz.
$\quad\circ\quad$ Les molécules de gaz subissent en permanence des chocs élastiques (= sans perte d'énergie) entre elles et avec les parois, mais toutes les autres interactions moléculaires sont négligées.

$\bullet\quad$Ces hypothèses sont justifiées dans le cas d'un gaz à basse pression car si le gaz est dilué, la distance entre les molécules est très grande devant la portée des interactions moléculaires : le modèle revient donc à supposer que l'énergie microscopique du gaz est uniquement de l'énergie cinétique (agitation thermique).

II. Équation d'état des gaz parfaits

Les variables d'état d'un gaz parfait sont reliées par une équation qui régit le comportement du gaz.

1. Loi des gaz parfaits

Un gaz parfait à l'équilibre et au repos peut être décrit par les variables d'état :

$\quad\circ\quad$ $P$ : la pression du gaz (en $Pa$) ;
$\quad\circ\quad$ $V$ : le volume occupé par le gaz (en $m^3$) ;
$\quad\circ\quad$ $n$ : la quantité de matière (en $mol$) ;
$\quad\circ\quad$ $R$ : la constante des gaz parfaits ($8,314~J/K/mol$) ;
$\quad\circ\quad$ $T$ : la température absolue du gaz (en $K$).

Celles-ci vérifient l'équation :

$\boxed{P \times V = n \times R \times T}$

2. Exemple

$\quad\circ\quad$Calculons le volume d'une mole de gaz parfait à la température de $293~K~(20^oC)$ et à la pression atmosphérique ($1,013~bar$) :

$V = \dfrac{n \times R \times T}{P}$

$\phantom{V}= \dfrac{1 \times 8,314 \times 293}{101300}$

$\phantom{V}= 0,024 ~ m^3$

$\phantom{V}= 24 ~ L$

$\quad\circ\quad$ On en déduit qu'une chambre de $5 ~ m \times 4 ~ m \times 2,5 ~ m = 50 ~ m^3$ contient $\dfrac{50}{0,024} \approx 2100$ moles d'air (à $20^oC$).

3.Propriétés

$\quad\circ\quad$ La loi des gaz parfaits est identique pour tous les gaz ! Ainsi le volume d'une mole de gaz (parfait) ne dépend pas de la nature du gaz.
$\quad\circ\quad$ Cette loi permet de retrouver les lois empiriques comme celle de Boyle-Mariotte : en effet si $n$ et $T$ sont constants, on vérifie bien que le produit $P \times V$ reste constant.

III. Limites du modèle

$\bullet\quad$La plupart des gaz (et des mélanges de gaz) se comportent comme un gaz parfait si les conditions suivantes sont respectées :
$\quad\circ\quad$ La pression du gaz est faible ($P \lt 10$ bar).
$\quad\circ\quad$ La température du gaz n'est pas trop basse : $T \gt 150~K~(-123^oC)$.

$\bullet\quad$En particulier, l'air se comporte comme un gaz parfait à la pression atmosphérique ($\approx 1~bar$).

_{= Merci à krinn pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}