Décrire un mouvement (STL)

Cette fiche précise les notions de base de cinématique déjà introduites en classes de 2^de et de 1^re :

$\bullet\quad$La notion de référentiel (relativité du mouvement) ;

$\bullet\quad$La position, la vitesse et l'accélération d'un point ;

Les caractéristiques de certains mouvements particuliers seront abordées dans la fiche suivante.

En cas de besoin, on pourra réviser les fiches suivantes :

$\bullet\quad$Relativité du mouvement ;

$\bullet\quad$Décrire un mouvement : cinématique du point ;

$\bullet\quad$ Mouvement d'un système.

I. Référentiel (rappels)

1. Définition

$\bullet\quad$On appelle référentiel :

$\quad\circ\quad$ Un solide de référence par rapport auquel on décrit le mouvement ;

$\quad\circ\quad$ Ou encore un ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres.

$\bullet\quad$Pour définir un référentiel, il faut se donner au minimum quatre points (non coplanaires), l'un servant d'origine et les trois autres définissant trois axes fixes issus de cette origine.

$\bullet\quad$D'autre part, on suppose qu'un référentiel peut être muni d'horloges, c'est-à-dire de dispositifs servant à mesurer les durées et dater les événements (un chronomètre par exemple).

2. Exemples et utilisation de référentiels

$\textcolor{purple}{\text{a. Exemples de référentiels}}$

$\bullet\quad$L'ensemble des objets fixes par rapport à la Terre constitue le référentiel terrestre (exemple : la salle de classe) ;

$\bullet\quad$Référentiel géocentrique : solide imaginaire formé par le centre de la Terre et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires) ;

$\bullet\quad$Référentiel héliocentrique : solide imaginaire formé par le centre du Soleil et le centre de 3 étoiles lointaines considérées comme fixes (les 4 points doivent être non coplanaires).

$\textcolor{purple}{\text{b.Utilisation des référentiels}}$

$\bullet\quad$On choisit le référentiel de manière à ce que le mouvement soit le plus simple possible. Au lycée, on utilise généralement :

$\quad\circ\quad$ Le référentiel terrestre lorsque les mouvements ont lieu à proximité de la surface du globe, par exemple le mouvement de voitures, d'avions, etc. ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel géocentrique pour étudier les mouvements de satellites autour de la Terre ;

$\quad\circ\quad$ Le référentiel héliocentrique pour étudier les mouvements à l'intérieur du système solaire (mouvement des planètes ou d'une sonde spatiale).

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Parler de mouvement sans préciser le référentiel n'a aucun sens en physique !

$\circ\quad$ Certains énoncés peuvent définir et utiliser un référentiel différent de ceux mentionnés ci-dessus (par exemple le référentiel lié à un train).

II. Cinématique du point

Dans toute la suite, le système étudié est assimilé à un point matériel, appelé le mobile. Ce point est en général le centre de gravité $G$ du système, ou encore son centre de masse (ou d'inertie), supposé confondu avec $G$ dans les situations traitées au lycée.

On suppose d'autre part que le système a un mouvement non relativiste c'est-à-dire que sa vitesse reste très inférieure à $c \approx 300~000~ km/s$ (vitesse de la lumière dans le vide), ce qui est le cas de tous les systèmes étudiés au lycée.

1. Repérage d'un mobile / vecteur position

Après avoir défini le système et choisi le référentiel, il faut repérer le mobile dans l'espace et dans le temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Repérage dans le temps}}$

$\bullet\quad$On suppose que le temps est absolu, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas du référentiel. Le temps est représenté par une variable réelle, notée $t$, et on procède comme suit :

$\quad\circ\quad$ On choisit un instant précis comme origine des dates, c'est-à-dire que sa date vaut : $t = 0$. Exemple : l'origine des dates (ou des temps) peut être le moment où une voiture démarre.

$\quad\circ\quad$ On choisit une durée étalon. L'unité S.I. de durée est la seconde.

$\quad\circ\quad$ Un instant (ou un événement) quelconque est repéré par sa date $t$. Exemple : la moto croise la voiture à l'instant $t = 5$ s.

$\quad\circ\quad$ La durée entre deux instants $t_1$ et $t_2$ ($t_2 > t_1$) est par définition : $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ : elle s'exprime dans la même unité que $t_1$ et $t_2$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Repérage dans l'espace}}$

$\bullet\quad$L'espace physique étant assimilé à un espace euclidien de dimension 3, on procède comme suit :

$\quad\circ\quad$ On associe un repère au référentiel choisi ;

$\quad\circ\quad$ A tout instant $t$, les coordonnées du point $G$ dans ce repère déterminent la position du mobile.

$\bullet\quad$En pratique, on attache souvent un repère cartésien orthonormé $(O,\overrightarrow{i}~,~\overrightarrow{j}~,~\overrightarrow{k})$ au référentiel d'étude. À tout instant $t$, le point $G$ est alors repéré :

$\quad\circ\quad$ Par le vecteur position $\overrightarrow{OG}$, noté $\overrightarrow{OG}~(x(t)~,~y(t)~,~z(t))$ ou encore $\overrightarrow{OG} = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j}+ z(t)\overrightarrow{k}$ ;

$\quad\circ\quad$ Ou par les coordonnées du point $G( x(t), y(t), z(t))$, comme indiqué sur la figure suivante :

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Le mouvement dépend du référentiel, mais pas du repère utilisé (repère cartésien, repère de Frenet ou autre).

$\quad\circ\quad$ En cinématique, les coordonnées d'un point sont en général des fonctions du temps $t$, par exemple $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$, alors que ce sont des constantes en mathématiques. La variable est le temps $t$ tandis que $x$ est une fonction de $t$. Toutefois on note souvent $x$ au lieu de $x(t)$ pour alléger l'écriture.

$\quad\circ\quad$ La date d'un événement est une valeur algébrique (elle peut être négative). Une date négative indique seulement que l'événement s'est passé AVANT l'instant $t = 0$ (origine des dates).

$\quad\circ\quad$ De même les coordonnées d'un point sont des valeurs algébriques, ainsi que les composantes des vecteurs vitesse et accélération que nous allons aborder.

$\quad\circ\quad$ L'espace étant supposé euclidien, tous les théorèmes et résultats vus en cours de mathématiques s'appliquent : théorème de Pythagore, calcul de la distance entre 2 points, etc.

$\quad\circ\quad$ Les notations peuvent varier d'un énoncé à l'autre : le point $G$ devient alors $M$, le repère devient $(O~,~\overrightarrow u_x~,~\overrightarrow u_y~,~ \overrightarrow u_z)$, etc. Il faudra alors transposer les relations en conséquence.

$\textcolor{purple}{\text{c. Cas des mouvements plan ou rectilignes}}$

$\bullet\quad$Dans le cas d'un mouvement plan, on peut repérer un point avec deux coordonnées (notées souvent $x$ et $y$) et le repère cartésien se réduit par exemple à $(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$, ce qui simplifie l'étude.

$\bullet\quad$Dans le cas d'un mouvement rectiligne, on peut repérer un point avec une seule coordonnée (notée souvent $x$ ou $z$) et le repère cartésien se réduit à $(O, \overrightarrow{i})$ par exemple (voir figures ci-après).

2. Vecteur vitesse instantanée $\overrightarrow{v}(t)$

$\bullet\quad$Définition :

La vitesse du point mobile $G$ caractérise la variation du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ au cours du temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Détermination expérimentale (rappels de 1}^{\text{re}})}$

$\bullet\quad$Le vecteur vitesse en $G_2$, à la date $t_2$, a pour valeur approchée la vitesse moyenne calculée entre $G_1$ et $G_3$ :

$\boxed{\overrightarrow{v}(t_{2}) \approx \dfrac{\overrightarrow{G_{1}G_{3}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\overrightarrow{OG}_{3} - \overrightarrow{OG_{1}}}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}}$

$\bullet\quad$Cette valeur approchée du vecteur $\overrightarrow{v}(t_{2})$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine $G_2$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour direction et sens $\overrightarrow{G_{1}G_{3}}$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour valeur $\dfrac{G_{1}G_{3}}{(t_{3}-t_{1})}$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Détermination par le calcul}}$

$\bullet\quad$La vitesse moyenne entre $G_1$ et $G_3$ ne permet pas de préciser le mouvement exact du mobile entre $G_1$ et $G_3$. L'idée est donc de calculer la vitesse moyenne entre deux points $G_1$ et $G_3$ infiniment proches de $G_2$ de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de $G_1$ et de $G_3$.

$\bullet\quad$Calcul :

$\quad\circ\quad$ Si $t_3 \longrightarrow t_1$, $\Delta t \longrightarrow 0$ alors $G_3 \longrightarrow G_1$ et donc $\Delta \overrightarrow{OG} \longrightarrow \vec{0}$.

$\quad\circ\quad$ $\dfrac{\Delta \overrightarrow{OG}}{\Delta t}$ tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps $t$ du vecteur position $\overrightarrow{OG}$, et notée $\dfrac{d \overrightarrow{OG}}{dt}$.

$\quad\circ\quad$ On pose alors : $\overrightarrow{v}(t_{2}) = \left( \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt} \right)_{en\; t_{2}}$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Généralisation}}$

$\bullet\quad$Vitesse instantanée :

Le vecteur vitesse instantanée est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

$\boxed{\overrightarrow{v_G} = \dfrac{d\overrightarrow{OG}}{dt}}$

$\bullet\quad$Le vecteur vitesse $\vec{v_G}$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine la position de $G$ à la date $t$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour direction la tangente en $G$ à la trajectoire ;

$\quad\circ\quad$ Pour sens celui du mouvement ;

$\quad\circ\quad$ Pour composantes, dans un repère cartésien :

$\left\lbrace\begin{matrix} v_{x} = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} \\[6pt] v_{y} = \dot{y} = \dfrac{dy}{dt} \\[6pt] v_{z} = \dot{z} = \dfrac{dz}{dt} \end{matrix} \right.$

$\quad\circ\quad$ Pour valeur :

$v = ||\vec{v}|| = \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}+v^2_{z}}$

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ Lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, $\vec{v_G}$ est simplement noté $\vec{v}$.

$\quad\circ\quad$ $\dot{x}$ (prononcer "x point") et $\dfrac{dx}{dt}$ sont deux notations de la même chose : la dérivée de $x(t)$ par rapport à $t$, notée $x'(t)$ en mathématiques.

$\quad\circ\quad$ Dans le cas d'un mouvement plan, on peut choisir un repère cartésien de telle manière que ces expressions se simplifient (voir figure) : $\overrightarrow{v_G} = v_{x} \overrightarrow{i} + v_{y} \overrightarrow{j}$ et $v = \sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}}$.

$\quad\circ\quad$ De même pour un mouvement rectiligne : on peut choisir un repère cartésien de telle manière que : $\overrightarrow{v_G} = v_{x} \overrightarrow{i}$ et $v = \sqrt{v^2_{x}} = |v_{x}|$.

$\bullet\quad$ $\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

Il ne faut pas confondre le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ (avec une flèche !) et sa valeur $v = ||\overrightarrow{v}||$ (qui est un nombre positif).

3. Vecteur accélération instantanée $\overrightarrow{a}(t)$

$\bullet\quad$Définition :

L'accélération du point mobile $G$ caractérise la variation du vecteur vitesse de $G$ au cours du temps.

$\textcolor{purple}{\text{a. Détermination expérimentale (rappels de 1}^{\text{re}})}$

$\bullet\quad$Le vecteur accélération en $G_2$, à la date $t_2$, a pour valeur approchée l'accélération moyenne calculée entre $G_1$ et $G_3$ :

$\boxed{\vec{a}(t_{2}) \approx \dfrac{\overrightarrow{v}(t_{3}) - \overrightarrow{v}(t_{1})}{(t_{3}-t_{1})} = \dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}}$

$\bullet\quad$Cette valeur approchée du vecteur $\vec{a}(t_{2})$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine $G_2$ ;

$\quad\circ\quad$ Même direction et sens que le vecteur variation de vitesse : $\Delta \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}(t_3) - \overrightarrow{v}(t_1)$ ;

$\quad\circ\quad$ Et pour valeur $\dfrac{\text{ } ||\Delta \vec{v} || }{(t_{3}-t_{1})}$.

$\textcolor{purple}{\text{b. Détermination par le calcul}}$

$\bullet\quad$L'accélération moyenne entre $G_1$ et $G_3$ ne permet pas de déterminer le mouvement exact du mobile entre $G_1$ et $G_3$. L'idée est donc de calculer l'accélération moyenne entre deux points $G_1$ et $G_3$ infiniment proches de $G_2$ de manière à obtenir une valeur qui ne dépend plus du choix de $G_1$ et de $G_3$.

$\bullet\quad$Calcul :

$\quad\circ\quad$ Si $t_3 \longrightarrow t_1$, $\Delta t \longrightarrow 0$ alors $\overrightarrow{v}(t_{3}) \longrightarrow \overrightarrow{v}(t_{1})$ et donc $\Delta \vec{v} \longrightarrow \overrightarrow{0}$.

$\quad\circ\quad$ $\dfrac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$ tend vers une valeur limite qui est la dérivée par rapport au temps $t$ du vecteur vitesse $\vec{v}$, notée $\dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt}$.

$\quad\circ\quad$ On pose alors : $\overrightarrow{a}(t_{2}) = \left(\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}\right)_{en\;t_{2}}$.

$\textcolor{purple}{\text{c. Généralisation}}$

$\bullet\quad$Accélération instantanée :

Le vecteur accélération instantanée est défini comme la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

$\boxed{\overrightarrow{a_G} = \dfrac{d \overrightarrow{v_G}}{dt}}$

$\bullet\quad$Le vecteur accélération $\overrightarrow{a_G}$ a :

$\quad\circ\quad$ Pour origine la position de $G$ à la date $t$ ;

$\quad\circ\quad$ Pour composantes, dans un repère cartésien :

$\left\lbrace\begin{matrix} a_{x} = \dfrac{d v_x}{dt } = \ddot{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 } \\[6pt] a_{y} = \dfrac{d v_y}{dt } = \ddot{y} = \dfrac{d^2y}{dt^2} \\[6pt] a_{z} = \dfrac{d v_z}{dt } = \ddot{z} = \dfrac{dz^2}{dt^2} \end{matrix} \right.$

$\quad\circ\quad$ Pour valeur :

$a = || \overrightarrow{a_G} || = \sqrt{a^2_{x}+a^2_{y}+a^2_{z}}$

$\bullet\quad$Remarques :

$\quad\circ\quad$ La direction et le sens du vecteur accélération ne sont pas aussi simples à déterminer que dans le cas de la vitesse, sauf dans certains cas simples que nous allons voir.

$\quad\circ\quad$ $a_{x} = \dfrac{d v_x}{dt }$ donc $a_{x}$ est la dérivée de $v_x(t)$ par rapport au temps, et comme $v_x(t) = \dfrac{dx}{dt}$ on peut aussi écrire : $a_{x} = \dfrac{d^2x}{dt^2 }$ c'est-à-dire la dérivée seconde de $x(t)$, notée $x''(t)$ en mathématiques.

$\bullet\quad$$\textcolor{red}{\text{ATTENTION !}}$

$\boxed{\overrightarrow{a} = \dfrac{d \overrightarrow{v}}{dt} }$ (relation entre vecteurs) mais en module, $a \ne \dfrac{dv}{dt}$ (sauf cas particulier).

III. Récapitulatif des grandeurs cinématiques

En synthèse, la figure suivante regroupe l'ensemble des grandeurs cinématiques qui caractérisent le mouvement d'un mobile $G$ à tout instant $t$ (dans le cas d'un mouvement plan) :

IV. Équations caractérisant le mouvement d'un mobile

1. Équations horaires du mouvement

$\bullet\quad$Pour caractériser le mouvement d'un mobile assimilé à un point matériel, il suffit de connaitre la position du point à tout instant. En effet, la vitesse et l'accélération du point se déduisent alors par dérivations successives par rapport au temps.

$\bullet\quad$On appelle équations horaires du mouvement la ou les relation(s) exprimant la position du point en fonction du temps, dans un repère donné.

$\bullet\quad$Ainsi, dans un repère cartésien $(O~,~x~,~y~,~z)$, les équations horaires du mouvement s'écriront par exemple :

$\left\lbrace\begin{matrix} x_G(t) = 3t \\[6pt] y_G(t) = t^2 \\[6pt] z_G(t) = e^{-t} \end{matrix} \right.$

Ce sont les composantes du vecteur position $\overrightarrow{OG}$ (exprimées dans le repère cartésien).

$\bullet\quad$Remarque : hormis le modèle simplifié du point matériel, la trajectoire d'un seul point ne suffit pas, dans le cas général, à caractériser le mouvement d'un système (un solide par exemple), car les points du système n'ont pas forcément la même trajectoire.

2. Équation cartésienne de la trajectoire

$\bullet\quad$Pour trouver l'équation cartésienne de la trajectoire d'un point, il faut éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.

$\bullet\quad$Exemple :

Si, dans un repère cartésien $(O~,~x~,~y)$, les équations horaires d'un mouvement (plan) sont par exemple :

$\left\lbrace\begin{matrix} x(t) = 2t \\[6pt] y(t) = 4t^2 \end{matrix} \right.$

il suffit de remarquer que $t = \dfrac{x}{2}$ pour en déduire l'équation de la trajectoire :

$y = 4 t^2 = \dfrac{4x^2}{4}$ c'est-à-dire $\boxed{y = x^2}$ ce qui est l'équation d'une parabole.

V. Mouvement rectiligne

$\bullet\quad$Un mobile est en mouvement rectiligne si la trajectoire du point est une droite (ou une portion de droite).

$\bullet\quad$On peut alors toujours définir un repère $(O~,~\overrightarrow{i})$ de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O~,~x)$. Ceci simplifie l'expression des vecteurs position, vitesse et accélération de $G$, et à tout instant $t$ :

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v_x \overrightarrow{i} = \dfrac{dx}{dt} \overrightarrow{i}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} = \dfrac{d^2x}{dt^2} \overrightarrow{i}$ .

$\bullet\quad$Propriété :
$\quad\circ\quad$ Lors d'un mouvement rectiligne, les vecteurs position, vitesse et accélération sont colinéaires.

$\quad\circ\quad$ Leur direction est celle de la trajectoire (qui est droite).

1. Mouvement rectiligne uniforme

$\bullet\quad$Un mobile est en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si le vecteur vitesse $\vec{v_G}$ est constant (il ne dépend pas du temps).

$\bullet\quad$La trajectoire du point $G$ est une droite (ou une portion de droite) qui est parcourue à vitesse constante.

$\bullet\quad$Le vecteur vitesse étant indépendant du temps, nous pouvons écrire : $\overrightarrow{a_G} = \dfrac{d\overrightarrow{v_G}}{dt} = \overrightarrow{0}$

$\bullet\quad$Propriété :

Le mouvement du mobile est rectiligne uniforme si et seulement si l'accélération du point est nulle.

$\bullet\quad$Dans un repère $(O, \overrightarrow{i})$ choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O,x)$, on peut alors écrire :

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v_x \overrightarrow{i}$ avec $\phantom{\quad\circ\quad~~}v_x = \text{constante = vitesse du mobile}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv_x}{dt} \overrightarrow{i} = \overrightarrow{0}$ .

$\bullet\quad$D'autre part, l'équation horaire du mouvement se réduit à :

$\boxed{x(t) = v_x \cdot t + x_0}$ où $x_0$ est la position initiale du mobile

2. Mouvement rectiligne uniformément varié

$\bullet\quad$Un mobile est en mouvement rectiligne uniformément varié si la trajectoire du point $G$ est une droite et si le vecteur accélération $\overrightarrow{a_G}$ est constant. La vitesse est donc variable.

$\bullet\quad$Dans un repère $(O~,~\overrightarrow{i})$ choisi de telle manière que le mobile se déplace sur l'axe $(O~,~x)$, on peut alors écrire :

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{OG}(t) = x(t) \overrightarrow{i}$ ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{v_G}(t) = v \overrightarrow{i}$ (en posant $v_x = v$ pour simplifier) ;

$\quad\circ\quad$ $\overrightarrow{a_G}(t) = \dfrac{dv}{dt} \overrightarrow{i} = a \overrightarrow{i}$ avec $\phantom{\quad\circ\quad ~~}a = \text{constante = accélération du point}$ .

$\bullet\quad$Cette accélération constante implique que :

$\quad\circ\quad$ La vitesse $v$ a pour expression :

$\boxed{v(t) = a \cdot t + v_0}$ où $v_0$ est la vitesse initiale du mobile

$\quad\circ\quad$ L'équation horaire du mouvement s'écrit :

$\boxed{x(t) = \dfrac{a . t^2}{2} + v_0 \cdot t + x_0}$ où $x_0$ est la position initiale du mobile

$\bullet\quad$Si la valeur de la vitesse augmente au cours du temps, on parle aussi de mouvement accéléré.

$\bullet\quad$Si la valeur de la vitesse diminue, on parle aussi de mouvement retardé.

$\bullet\quad$Les deux équations précédentes peuvent être déterminées par la recherche de primitives en identifiant les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales du mouvement :

En effet : $\boxed{\dfrac{dv}{dt} = a = cste}$

$\Rightarrow \boxed{v(t) = \dfrac{dx}{dt} = a \cdot t + C_1}$ en intégrant une première fois

$\Rightarrow \boxed{x(t) = \dfrac{a \cdot t^2}{2} + C_1 \cdot t + C_2}$ en intégrant une seconde fois

Si, à l'instant $t = 0$, on pose : $v(0) = C_1 = v_0$ et $x(0) = C_2 = x_0$, on retrouve bien les relations précédentes.

_{= Merci à krinn et gbm pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}